 |
Et preguntes...
PROPOSTES PER A TREBALLS DE RECERCA 2008 |
Treball 1. Com abordar numèricament les integrals que no sabem fer (Dr. Antoni Benseny)
Es proposa fer una introducció a les integrals definides i descobrir diferents maneres d'aproximar-les. S'apliquen aquestes maneres al càlcul d'un bon nombre d'integrals, comparant els diversos mètodes usats. Cal utilitzar un llenguatge de programació per implementar els programes que realitzen els càlculs numèrics corresponents. |
Treball 2. Com circular per una xarxa (Dr. Antoni Benseny)
Es proposa de resoldre diversos problemes de cerca de camins en un graf amb diversos objectius: camins eulerians, camins hamiltonians, camins mínims. Cal primer saber trobar aquests camins a mà i després elaborar els programes informàtics de cerca d'aquests per a un graf qualsevol. |
Treball 3. Matemàtica borrosa (Dr. Josep Maria Font)
Un dels pilars de la matemàtica i la lògica clàssiques és la suposició que les coses o són o no són, no hi ha terme mig (un triangle és rectangle o no ho és, no ho pot ser "una mica"). En canvi, quan volem classificar la realitat sota un determinat criteri aquesta dicotomia ens provoca situacions absurdes i fins i tot contradictòries (en quin moment deixa de ser pelut un home que va perdent cabell? quan comença a ser calb?). La matemàtica clàssica ha tingut un gran èxit en la física i l'enginyeria, on la dicotomia veritat/mentida té bastant sentit. Però la matemàtica actual s'aplica a l'estudi del comportament humà, a les ciències socials, etc., amb tots els seus matisos. Com s'ho fa? En aquest treball us proposem una exploració de les regles ocultes de les diferents lògiques que governen la matemàtica clàssica i la matemàtica "borrosa". També podreu descobrir si a sota de tot això s'hi amaguen problemes lingüístics o filosòfics, per exemple. |
Treball 4. Fractals geomètrics i dimensió fractal (Dra. Núria Fagella)
Es proposa la construcció d'objectes fractals mitjançant processos geomètrics repetits infinites vegades: el triangle de Sierpinski, la corba de Koch, etc. Aquests objectes tenen propietats molt sorprenents que en moltes ocasions desafien la intuïció. La dimensió fractal és una generalització de la dimensió habitual i pot prendre valors fraccionaris. D'aquesta manera podem reflectir el fet intuïtiu que els objectes fractals no són rectes, ni cercles, ni discs, ni cubs, etc... Caldrà fer servir l'ordinador al menys a nivell d'usuari per a treballar amb els fractals. |
Treball 5. Iterar funcions als complexos i els fractals que en resulten (Dra. Núria Fagella)
Iterar una funció (aplicar-la repetidament fins a infinites vegades) és un procés natural amb multitud d'aplicacions. En iterar funcions definides als nombres complexos s'obtenen objectes fractals fascinants, com els coneguts conjunts de Júlia o el conjunt de Mandelbrot. Aquest treball requereix aprendre l'aritmètica i la geometria elementals dels nombres complexos. Cal fer servir l'ordinador per a dibuixar els fractals (en principi, l'ús a nivell d'usuari és suficient però, si es vol, es pot fer el programa que els dibuixa, la qual cosa afegeix al treball una part de programació elemental). |
Treball 6. Newton en colors: com trobar arrels complexes pel mètode de Newton
(Dra. Núria Fagella)
El mètode de Newton per trobar arrels de funcions pot aplicar-se amb nombres complexos i aleshores trobem les arrels de la funció al pla complex. Aquest és un exemple de iteració, i, amb l'ajut de l'ordinador, s'obtenen fractals que formen les fronteres de les diferents conques d'atracció. Aquest treball requereix aprendre l'aritmètica i la geometria elementals dels nombres complexos. Cal fer servir l'ordinador per a dibuixar els fractals (en principi, l'ús a nivell d'usuari és suficient però, si es vol, es pot fer el programa que els dibuixa, la qual cosa afegeix al treball una part de programació elemental). |
Treball 7. Les matemàtiques i la música: per què hi ha 12 notes per octava? (Dr. Miquel Bosch)
Una escala musical és una tria d'un conjunt discret de sons o tons. Un to correspon a una freqüència de vibració de l'aire, que es mesura en hertz (per ex. la nota "la" del diapasó estàndard correspon a 440 Hz.) La relació entre dos tons diferents la podem mirar com el quocient de les seves freqüències (per exemple: 2/1 (octava), 3/2 (quinta), 4/3 (quarta)). L'objectiu del treball podria ser el de justificar matemàticament que l'escala que s'usa en la música occidental (12 tons equidistants per octava) és una molt bona tria. |
Treball 8. Les matemàtiques i la música: Relacions entre cànons musicals i gràfiques de funcions (Dr. Miquel Bosch)
Pensem un cànon musical com una melodia que es toca (o canta) dues vegades com a mínim. La segona vegada es pot cantar absolutament igual que la primera, o bé s'hi poden fer modificacions. Si pensem una melodia com la gràfica d'una funció (l'eix horitzontal és el temps, i el vertical és les notes de l'escala), cada una de les modificacions es pot pensar com una certa transformació de la gràfica d'una funció: translació horitzontal o vertical, homotècia, simetria respecte un eix o un punt,... |
Treball 9. Les matemàtiques i la música: la raó àurea en obres musicals (Dr. Miquel Bosch)
Històricament, la relació "1:0.618..." o "1.618...:1" entre magnituds ha estat considerada estèticament agradable. N'hi ha molts exemples coneguts en escultura, pintura o arquitectura. Aquest "nombre auri" (arrel quadrada(5)-1)/2 és el límit de la successió de quocients de termes consecutius de la successió de Fibonnacci. Els primers nombres d'aquesta successió també apareixen en molts fenòmens naturals. L'objectiu del treball és observar l'aparició dels nombres de Fibonnacci i de la raó àuria en obres musicals. |
Treball 10. Es pot preveure quin serà el creixement de la població a Catalunya, o a Andorra?
(Dr. Joan Cerdà)
La llei de Malthus estableix que la taxa de creixement d'una població és proporcional a la població. Sembla que aquesta llei és aplicable si una població no té competència però, si hi ha competència dins de la mateixa població, cal fer una correcció i la llei de Verhulst estableix que a la taxa de creixement se li ha de sumar una quantitat proporcional al quadrat de la població. El treball consistiria en comprovar fins a quin punt aquesta llei és aplicable a poblacions humanes com la de Catalunya o d'Andorra, a partir de les dades disponibles, via Internet, de l'Institut d'estadística. Pot permetre preveure el comportament futur d'aquestes poblacions. Caldrà determinar els coeficients de les equacions que en resulten per a aquestes poblacions, i pot ser útil per entendre conceptes bàsics com el de derivada i d'ajust de corbes a dades experimentals.
|
Treball 11. Generació de nombres aleatoris amb un ordinador (Dr. Àngel Jorba)
La simulació de processos del món real dins d'un ordinador requereix, de vegades, generar seqüències de nombres al atzar. Per altre banda, un ordinador, com a màquina determinista que és, no pot generar una sortida aleatòria.
Es proposa endinsar-se una mica en el concepte d'atzar, i en les "trampes" (i idees) més bàsiques que hi ha al darrera de la generació de nombres aleatoris. Es pot fer una petita pràctica d'ordinador. |
Treball 12. Problemes famosos de Probabilitat (Dra. Olga Julià)
Aquest treball començaria fent un seguiment al llarg de la historia de tres problemes que van afavorir el desenvolupament de la Probabilitat: el càlcul dels resultats possibles al llançar n daus, el problema dels punts i el problema del cavaller de Méré. Aquests problemes van ser mal resolts inicialment, i alguns han trigat segles fins que s'ha donat la solució correcta. Es tracta que l'alumne reculli la informació, entengui les diferents solucions que es van proposant al llarg de la història i sàpiga perquè són o no correctes. El treball completaria amb problemes curiosos com el dels aniversaris o el de les tres portes, aquest últim pot servir per a il·lustrar que fins i tot científics del nostre temps s'han equivocat a l'hora de resoldre problemes de probabilitat aparentment senzills. |
Dra. Olga Julià de Ferran
Coordinadora de Suport als Treballs de Recerca de Secundària
A/e. recerca.secundaria@ub.edu
Tel. 93 402 16 53 |
|
