Treball 1. Com abordar numèricament les integrals que no sabem fer (Dr. Antoni Benseny)
Es proposa fer una introducció a les integrals definides i descobrir diferents maneres d'aproximar-les. S'apliquen aquestes maneres al càlcul d'un bon nombre d'integrals, comparant els diversos mètodes usats. Cal utilitzar un llenguatge de programació per implementar els programes que realitzen els càlculs numèrics corresponents.

Treball 2. Com circular per una xarxa (Dr. Antoni Benseny)
Es proposa de resoldre diversos problemes de cerca de camins en un graf amb diversos objectius: camins eulerians, camins hamiltonians, camins mínims. Cal primer saber trobar aquests camins a mà i després elaborar els programes informàtics de cerca d'aquests per a un graf qualsevol.

Treball 3. Es pot preveure quin serà el creixement de la població a Catalunya, o a Andorra?
(Dr. Joan Cerdà)
La llei de Malthus estableix que la taxa de creixement d'una població és proporcional a la població. Sembla que aquesta llei és aplicable si una població no té competència però, si hi ha competència dins de la mateixa població, cal fer una correcció i la llei de Verhulst estableix que a la taxa de creixement se li ha de sumar una quantitat proporcional al quadrat de la població. El treball consistiria en comprovar fins a quin punt aquesta llei és aplicable a poblacions humanes com la de Catalunya o d'Andorra, a partir de les dades disponibles, via Internet, de l'Institut d'estadística. Pot permetre preveure el comportament futur d'aquestes poblacions. Caldrà determinar els coeficients de les equacions que en resulten per a aquestes poblacions, i pot ser útil per entendre conceptes bàsics com el de derivada i d'ajust de corbes a dades experimentals.

Treball 4. Missatges xifrats (Dra. Teresa Crespo)
Es proposa d'estudiar els mètodes clàssics de xifratge: de Juli Cèsar, afins, de Hill. En cada un d'ells s'observa que podem desxifrar el missatge coneixent la clau de xifratge. La seguretat en aquests sistemes es basa doncs en mantenir secreta aquesta clau. S'introduirà la idea bàsica de la criptografia de clau pública i del logaritme discret. Es veurà amb exemples la dificultat computacional de factoritzar. Es buscarà a la web informació sobre la cerca de primers grans (primers de Mersenne).

Treball 5. Simetria al pla (Dra. Teresa Crespo)
Es veurà que el fet que una figura plana sigui simètrica es caracteritza pel fet que queda fixa per transformacions del pla, com ara els girs i les simetries especulars. Fent models en cartolina de diferents polígons regulars amb els vèrtexs numerats, podem veure com es composen entre elles aquestes transformacions i que cada una d'elles dóna una permutació diferent dels vèrtexs del polígon. També que aquesta composició no és conmutativa. En un sistema de referència del pla amb origen en el centre del polígon, podem escriure les equacions d'aquestes transformacions, les seves matrius associades i veure la composició com a producte de matrius.

Treball 6. Simetria a l'espai Dra. Teresa Crespo)
S'estudiaran els sòlids platònics: tetraedre, octaedre, exaedre, icosaedre, dodecaedre, fent-ne models en cartolina. Per cada un d'ells es determinarà quines rotacions respecte d'un eix i quines simetries especulars els deixen fixos. Es veurà que cada un d'aquests moviments correspon a una permutación dels vèrtexs. S'estudiarà la composició d'aquestes transformacions a partir de la composición de les permutacions de vèrtexs corresponents. Es buscarà informació sobre l'associació dels sòlids platònics amb els cinc elements.

Treball 7. Fractals geomètrics i dimensió fractal (Dra. Núria Fagella)
Es proposa la construcció d'objectes fractals mitjançant processos geomètrics repetits infinites vegades: el triangle de Sierpinski, la corba de Koch, etc. Aquests objectes tenen propietats molt sorprenents que en moltes ocasions desafien la intuïció. La dimensió fractal és una generalització de la dimensió habitual i pot prendre valors fraccionaris. D'aquesta manera podem reflectir el fet intuïtiu que els objectes fractals no són rectes, ni cercles, ni discs, ni cubs, etc. Caldrà fer servir l'ordinador al menys a nivell d'usuari per a treballar amb els fractals.

Treball 8. Iterar funcions als complexos i els fractals que en resulten (Dra. Núria Fagella)
Iterar una funció (aplicar-la repetidament fins a infinites vegades) és un procés natural amb multitud d'aplicacions. En iterar funcions definides als nombres complexos s'obtenen objectes fractals fascinants, com els coneguts conjunts de Júlia o el conjunt de Mandelbrot. Aquest treball requereix aprendre l'aritmètica i la geometria elementals dels nombres complexos. Cal fer servir l'ordinador per a dibuixar els fractals (en principi, l'ús a nivell d'usuari és suficient però, si es vol, es pot fer el programa que els dibuixa, la qual cosa afegeix al treball una part de programació elemental).

Treball 9. Newton en colors: com trobar arrels complexes pel mètode de Newton
(Dra. Núria Fagella)
El mètode de Newton per trobar arrels de funcions pot aplicar-se amb nombres complexos i aleshores trobem les arrels de la funció al pla complex. Aquest és un exemple de iteració, i, amb l'ajut de l'ordinador, s'obtenen fractals que formen les fronteres de les diferents conques d'atracció. Aquest treball requereix aprendre l'aritmètica i la geometria elementals dels nombres complexos. Cal fer servir l'ordinador per a dibuixar els fractals (en principi, l'ús a nivell d'usuari és suficient però, si es vol, es pot fer el programa que els dibuixa, la qual cosa afegeix al treball una part de programació elemental).

Treball 10. Matemàtica borrosa (Dr. Josep Maria Font)
Un dels pilars de la matemàtica i la lògica clàssiques és la suposició que les coses o són o no són, no hi ha terme mig (un triangle és rectangle o no ho és, no ho pot ser "una mica"). En canvi, quan volem classificar la realitat sota un determinat criteri aquesta dicotomia ens provoca situacions absurdes i fins i tot contradictòries (en quin moment deixa de ser pelut un home que va perdent cabell? quan comença a ser calb?). La matemàtica clàssica ha tingut un gran èxit en la física i l'enginyeria, on la dicotomia veritat/mentida té bastant sentit. Però la matemàtica actual s'aplica a l'estudi del comportament humà, a les ciències socials, etc., amb tots els seus matisos. Com s'ho fa? En aquest treball us proposem una exploració de les regles ocultes de les diferents lògiques que governen la matemàtica clàssica i la matemàtica "borrosa". També podreu descobrir si a sota de tot això s'hi amaguen problemes lingüístics o filosòfics, per exemple.

Treball 11. Generació de nombres aleatoris amb un ordinador (Dr. Àngel Jorba)
La simulació de processos del món real dins d'un ordinador requereix, de vegades, generar seqüències de nombres al atzar. Per altre banda, un ordinador, com a màquina determinista que és, no pot generar una sortida aleatòria.
Es proposa endinsar-se una mica en el concepte d'atzar, i en les "trampes" (i idees) més bàsiques que hi ha al darrera de la generació de nombres aleatoris. Es pot fer una petita pràctica d'ordinador.

Treball 12. Problemes famosos de Probabilitat (Dra. Olga Julià)
Aquest treball començaria fent un seguiment al llarg de la historia de tres problemes que van afavorir el desenvolupament de la Probabilitat: el càlcul dels resultats possibles al llançar n daus, el problema dels punts i el problema del cavaller de Méré. Aquests problemes van ser mal resolts inicialment, i alguns han trigat segles fins que s'ha donat la solució correcta. Es tracta que l'alumne reculli la informació, entengui les diferents solucions que es van proposant al llarg de la història i sàpiga perquè són o no correctes. El treball completaria amb problemes curiosos com el dels aniversaris o el de les tres portes, aquest últim pot servir per a il·lustrar que fins i tot científics del nostre temps s'han equivocat a l'hora de resoldre problemes de probabilitat aparentment senzills.

Treball 13. De l'esquema de Bernoulli a la campana de Gauss: breu viatge per les lleis de l'atzar(Dr. Josep Vives)
Es proposa una introducció a les diferents lleis de probabilitat que permeten modelitzar fenòmens relacionat amb el que s'anomena Esquema de Bernoulli, és a dir, la situació en que hom té diversos experiments èxit – fracàs repetits moltes vegades sota les mateixes condicions. En particular veurem les lleis de Bernoulli, Binomial. Geomètrica. Binomial Negativa, de Poisson i de Gauss. Els dos darrers casos es poden estudiar com a lleis límit de lleis binomials sota certes condicions. En el cas de la Gaussiana o Normal es tracta del Teorema de De Moivre – Laplace, embrió de l'important Teorema central del límit, que es pot demostrar amb mètodes elementals. Si s'escau es pot implementar, usant R, una prova gràfica d'aquest teorema. Amb aquest treball de recerca s'espera que l'alumne assoleixi la comprensió dels fonaments de la Teoria de la Probabilitat com a comprensió racional de l'Atzar.

Treball 14. Val la pena jugar? Un passeig per la combinatòria i les probabilitats elementals
(Dr. Josep Vives)
Es proposa analitzar diversos jocs d'atzar de la nostra cultura i calcular les probabilitats de guanyar-hi. Entre altres podem estudiar les travesses, la 6/49 o primitiva, la rifa de Nadal, el pòquer de cartes, el pòquer de daus, la ruleta francesa, etc... L'objectiu és fer un repàs de les diferents tècniques de la combinatòria així com adquirir els conceptes elementals de la teoria de la probabilitat.

 

Dr. Josep Vives
Coordinador de Suport als Treballs de Recerca de Secundària
A/e. recerca.secundaria@ub.edu
Tel. 93 402 16 53