Álgebra

Parte de las matemáticas donde se estudian las herramientas de trabajo: números, matrices, operaciones, etc

Ecuación característica

Descripción: 

La ecuación \(\left| A-\lambda I \right| =0\) se denomina ecuación característica de la matriz \(A\).

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
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Álgebra
Ejemplo: 

Buscar la ecuación característica de la matriz asociada a la forma cuadrática \(f(x,y)={ 2x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }-9xy\)

a. La matriz asociada a esta forma cuadrática es: 

                                                                                                  

b. La ecuación característica viene dado por:

                                                                                 

Valor propio de una matriz cuadrada

Descripción: 

Dada una matriz cuadrada \( A\), decimos que \(\lambda \in \Re \) es un valor propio de \( A\), si cumple \(\left| A-\lambda I \right| =0\)

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
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Álgebra
Ejemplo: 

Calcular los valores propios de la matriz :

                                                                

Aplicando la formula \(\left| A-\lambda I \right| =0\), se obtiene:

                                                                  

es decir, \((1-\lambda )(-\lambda )(-2-\lambda )-9(1-\lambda )-(-2-\lambda )=-{ \lambda  }^{ 3 }-{ \lambda  }^{ 2 }+12\lambda -7=0\), las soluciones de la ecuación característica son los valores propios de la matriz, en este caso los valores propios son (con 5 decimales): \({ \lambda  }_{ 1 }={ 0'63913;\lambda  }_{ 2 }=2'58984;{ \lambda  }_{ 3 }=-4'22897\)

Carácter de una forma cuadrática

Descripción: 

Si \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) es una forma cuadrática, decimos que:

1. f es definida positiva si \(\forall x\in { \Re  }^{ n },\quad x\neq 0\quad \Rightarrow f(x)>0\)

2.  f es semidefinida positiva si \(\forall x\in{ \Re  }^{ n } ,f(x)\ge 0\) y \(\exists x\neq 0\) tal que \(f(x)=0\)

3.  f es definida negativa si \(\forall x\in{ \Re  }^{ n } ,\quad x\neq 0\quad \Rightarrow f(x)<0\)

4.  f es semidefinida negativa si  \(\forall x\in { \Re  }^{ n } ,f(x)\le 0\) y \(\exists x\neq 0\) tal que \(f(x)=0\)

5. f es indefinida en otro caso

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
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Álgebra
Ejemplo: 

a. Estudiar el carácter de la siguiente forma cuadrática \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad f(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\).

La forma cuadrática es definida positiva dado que\( f(x,y)>0 \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }, (x,y)\neq (0,0)\)

b.Estudiar el carácter de la siguiente forma cuadrática \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad f(x,y)={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }\)

Esta forma cuadrática es indefinida, \(\exists (2,1)\neq (0,0)/f(2,1)={ 2 }^{ 2 }-1=4-1=3>0\\ \exists (1,2)\neq (0,0)/f(1,2)=1-{ 2 }^{ 2 }=1-4=-3<0\)

Forma cuadrática

Descripción: 

Si A es una matriz simétrica de orden n. La forma cuadrática asociada a A es una aplicación \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) definida por:\(f(x)=: x'Ax;\quad \forall x\in { \Re  }^{ n } \)

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Escribir la forma cuadrática asociada a la matriz simétrica:

                                                                                        

Aplicando la fórmula \(f(x)=: x'Ax;\quad \forall x\in { \Re  }^{ 3 } \), se obtiene

      

 

 

Conjunto convexo

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) decimos que es convexo, si dado cualquier par de puntos del conjunto, el segmento que los une está incluido en el conjunto, es decir, si \(a,b\in A\subseteq { \Re  }^{ n }\Rightarrow \bar { ab } \subset A \), siendo \(\bar { ab } \) el segmento de extremos \(a\) y \(b\)

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{2 }\), definido por \(A=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad x+y\le 1 \right\} \subset { \Re  }^{ 2 }\), es un conjunto convexo.

Seab \(a=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\in A\quad b=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\in A\) hay que ver si \(c=\lambda a+(1-\lambda )b=(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 },\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 })\in A\) con \( 0\le \lambda\le 1\)

\(a=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\in A\Rightarrow \quad { x }_{ 0 }\ge 0,\quad { y }_{ 0 }\ge 0,\quad { x }_{ 0 }+{ y }_{ 0 }\le 1\)

\( b=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\in A\Rightarrow \quad { x }_{ 1 }\ge 0,\quad { y }_{ 1 }\ge 0,\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }\le 1\)

\( 0\le \lambda\le 1,  c=\lambda a+(1-\lambda )b=(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 },\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 })\Rightarrow \lambda { x }_{ 0 }+(1-\lambda){ x }_{ 1 })\ge 0\), también \(\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 }\ge 0\)

Finalmente, si hacemos la suma de las componentes se tiene: \(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 }+\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 }=\lambda ({ x }_{ 0 }+{ y }_{ 0 })+(1-\lambda )({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 })\le \lambda +(1-\lambda )=1\)

Consecuentemente \(c\in A\)

Conjunto compacto

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) decimos que es compacto, si es cerrado y acotado.

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y\le -4;\quad y\le 4 \right\}  \) es un conjunto compacto.

1. Hemos de comprobar que es un conjunto cerrado: Este conjunto es el ejemplo de cerrado

2.- Hemos de ver que se trata de un conjunto acotado: Este conjunto es el ejemplo de acotado

Al ser un conjunto cerrado y acotado, es compacto.

Conjunto acotado

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) es acotado si existe una bola que lo contenga, es decir, \(\exists a\in { \Re  }^{ n }\) y \(\exists r>0\) tales que \(A\subseteq B(a,r)\)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \) es un conjunto acotado.

Si consideramos la Bola de centro en el punto \((-2,2)\in { \Re  }^{ 2 }\) y de radio r=3, se tiene que \(A\subset B((-2,2),3)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ (x+2) }^{ 2 }+{ (y-2) }^{ 2 }\le 9 \right\} \).

Es decir, el conjunto \(A\) es acotado

Conjunto cerrado

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) es cerrado, si contiene la totalidad de su frontera, es decir, si \(x\in Fr(A)\Rightarrow x\in A\)

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y\le -4;\quad y\le 4 \right\}  \) es un conjunto cerrado.

1. Buscamos el conjunto frontera de \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\)

\(Fr(A)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y=-4 \quad con \quad y\le 4 \right\}\cup \left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/-4\le x\le 0,\quad y=4 \right\}  \),

2. Si \((x,y)\in Fr(A)\Rightarrow (x,y)\in A\), todos los puntos de la frontera de \(A\) pertenecen al conjunto \(A\)

Por lo que \(A\) es un conjunto cerrado.  

Conjunto abierto

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) es abierto, si no contiene ningún punto de su frontera, es decir, si \(x\in Fr(A)\Rightarrow x\notin A\)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \) es un conjunto abierto.

1. Buscamos el conjunto frontera de \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\)

\(Fr(A)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y=-4 \quad con \quad y<4 \right\}\cup \left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/-4<x<0,\quad y=4 \right\} \),

2. Si \((x,y)\in Fr(A)\Rightarrow (x,y)\notin A\), los puntos de la frontera no pertenecen al conjunto

Por lo que \(A\) es un conjunto abierto.                                                                     

Conjunto frontera de un conjunto

Descripción: 

La frontera de un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) lo simbolizamos por Fr(A) y es el conjunto de todos los puntos frontera de A

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Buscar el conjunto frontera del conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \).

El conjunto frontera de \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es: \(Fr(A)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y=-4 \quad con \quad y<4 \right\}\cup \left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/-4<x<0,\quad y=4 \right\} \),

Porque: \(\forall (x,y)\in Fr(A),\quad \forall r>0,\quad B((x,y),r)\cap A\neq \phi \quad B((x,y),r)\cap A'\neq \phi \)

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