Aplicaciones lineales

Permiten el estudio de las matrices

Endomorfismo

Descripción: 

Se llama endomorfismo a cualquier aplicación lineal \( f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ n }\). La matriz asociada a un endomorfismo es cuadrada \(n\times n\)

Descriptores: 
Aplicaciones lineales
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Comprobar que la aplicación \(f:{ \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) dada por \(f(x,y)=(x+y,\quad x-y)\), en la base canónica, es un endomorfismo en \({ \Re  }^{ 2 }\). Dar la matriz asociada a este endomorfismo (es de orden \(2\times 2\)).

a. f es un endomorfismo, es decir, es una aplicación lineal de \({ \Re  }^{ 2 }\) en si mismo

\(f(({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 }))=f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },{y }_{ 1}+{ y }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 },{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }-({ y }_{ 1}+{ y }_{ 2 }))=({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },{ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 }+{ x}_{ 2 }{ -y }_{ 2 })=\\=({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },{ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },{ x}_{ 2}{ -y }_{ 2 })=f({ x }_{ 1 },{y }_{ 1 })+f({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\)

\(f(\lambda (x,y))=f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x+\lambda y,\lambda x-\lambda y)=(\lambda (x+y),\lambda (x-y)=\lambda (x+y,x-y)=\lambda f(x,y)\)

b.  Matriz asociada a f:    \(f(1,0) = (1,1);   f(0,1) =(1, -1)\), la matriz asociada es:

                                                             

 

Matriz asociada a una aplicación lineal

Descripción: 

Sea \(f:\quad { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\quad \) una aplicación lineal, sean \(\left\{ { u }_{ 1 }; { u }_{ 2 }; ... ; { u }_{ n } \right\} \) una base de \({\Re  }^{ n }\) y  \( \left\{ { v }_{ 1 }; { v }_{ 2 }; ... ; { v }_{ m } \right\} \) una base de \({\Re  }^{ m }\) tal que

\( f({ u }_{ 1 })={ a }_{ 11 }{ v }_{ 1 }+{ a }_{ 21 }{ v }_{ 2 }+...+{ a }_{ m1 }{ v }_{ m }\)

\(f({ u }_{ 2 })={ a }_{ 12 }{ v }_{ 1 }+{ a }_{ 22 }{ v }_{ 2 }+...+{ a }_{ m2 }{ v }_{ m }\)

...

...

\( f({ u }_{ n })={ a }_{ 1m }{ v }_{ 1 }+{ a }_{ 2m }{ v }_{ 2 }+...+{ a }_{ mn }{ v }_{ m }\)

La matriz asociada a la aplicación lineal es la matriz de \(m\) filas y \(n\) columnas siguiente: 

 

 

Descriptores: 
Aplicaciones lineales
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Si \(f:{ \Re  }^{ 3 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) es una aplicación lineal. \(\left\{ { u }_{ 1 };{ u }_{ 2 };{ u }_{ 3 } \right\} \left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 } \right\} \) son  bases  de \({ \Re  }^{ 3 }\) y \({ \Re  }^{ 2 }\) respectivamente, verificando que:  \(f({ u }_{ 1 })=-2{ v }_{ 1 }+3{ v }_{ 2 }\\f({ u }_{ 2 })={ v }_{ 1 }-{ v }_{ 2 }\\  f({ u }_{ 3 })=\quad { v }_{ 2 }\). Se pide encontrar la matríz asociada a la aplicación lineal en estas bases.

Solución

La matriz asociada es 

Aplicación lineal

Descripción: 

Sean \({ \Re  }^{ n }\)y \({ \Re  }^{ m }\) dos espacios vectoriales sobre \(\Re \), la aplicación  \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\) que verifica: 

1. \(f(u+v)=f(u)+f(v)\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ n }\)

2. \(f(\lambda ·u)=\lambda ·f(u)\quad \forall u\in { \Re  }^{ n }\quad \forall \lambda \in { \Re  }\)

la llamamos aplicación lineal.

 

Descriptores: 
Aplicaciones lineales
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Sean \({ \Re  }^{ 2 }\) y \({ \Re  }^{ 3 } \) espacios vectoriales sobre \({ \Re  }\),  la función  \(f:{ \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 3 } \) dada por \(f(x,y)=(x,x+y,x-y)\), es una aplicación lineal, es decir:

1. \(f\left[ ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 }) \right] =f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }-({ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }))=\\ =({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }+({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 }),\quad ({ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 }-{ y }_{ 2 }))=({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },\quad { x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },\quad { x }_{ 2 }-{ y }_{ 2 })=\\=f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+f({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 });\quad \forall ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }),({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }\)

2. \(f\left[ \lambda (x,y) \right] =f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x,\quad \lambda x+\lambda y,\quad \lambda x-\lambda y)=\lambda (x,x+y,x-y)=\lambda·f(x,y);\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\)

 

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