Espacio vectorial

Unidad básica del Álgebra, define los conceptos primitivos: vector, escalar, generador, independencia, operación, etc.

Subespacio engendrado

Descripción: 

Dados \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) vectores de un espacio vectorial \({ R }^{ n }\) , llamamos subespacio engendrado por  \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) al conjunto de vectores de \({ R }^{ n }\) que son combinación lineal de ellos.

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Dados los vectores \((1,1, 0) , (2,0-1)\) de \({ \Re  }^{ 3 }\), describir el subespacio engendrado por estos vectores. Hay que ver que vectores \((x,y,z)\in { \Re  }^{ 3 }\), son combinación lineal de \((1,1, 0) , (2,0-1) \)

Dada \((x,y,z)=\alpha (1,1,0)+\beta (2,0,-1)=(\alpha +2\beta ,\alpha ,-\beta )\)  se obtiene el sistema de ecuaciones

\( x=\alpha +2\beta \\ y=\alpha \\ z=-\beta\)

eliminando los parámetros \(\alpha ,\beta \), queda la ecuación:

\( x=y-2z\Leftrightarrow x-y+2z=0\). El subespacio generado es un plano de \({ \Re  }^{ 3 }\), su dimensión es 2.

Subespacio vectorial

Descripción: 

Decimos que \(S\) es un subespacio vectorial de \({ \Re  }^{ n }\), si cumple:

1. \(S\neq \emptyset \quad \) y \( S\subseteq { \Re  }^{ n }\).

2. \(\forall u,v\in S\Longrightarrow u+v\in S\)

3. \(\forall \lambda \in \Re \quad \forall u\in S\Longrightarrow \lambda u\in S\)

Descriptores: 
Espacio vectorial
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(S=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/x-y=0 \right\} \) es un subespacio vectorial de \({ \Re  }^{ 2 }\).

Efectivamente:

1. \(S\neq \phi \quad (0,0)\in S\) y, además \( S\subseteq { \Re  }^{ 2 }\), todos sus elementos pertenecen a \({ \Re  }^{ 2 }\)

2. Dados \(v=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in S,\quad u=({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })\in S\Longrightarrow v+u=({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 })\in S\)

Comprobamos que \(v+u\in S\)

\({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }-({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 })={ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 }=({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })+({ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 })=0+0=0\)

3. Dado \(v=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in S, \lambda \in \Re \Longrightarrow \lambda v=(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })\in S\)

Comprobamos que \( \lambda v\in S\)

\(\lambda { x }_{ 1 }-\lambda { x }_{ 2 }=\lambda ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })=\lambda 0=0\)

Base canónica de un espacio vectorial

Descripción: 

Llamamos base canónica de \({ \Re  }^{ n }\) al conjunto ordenado de vectores \(\left\{ { (1,0,...,0);\quad (0,1,0,...,0) }\quad ...\quad { (0,0,...,0,1) } \right\} \)

Descriptores: 
Espacio vectorial
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Álgebra
Ejemplo: 

La base canónica de \({ \Re  }^{ 2 }\) es \(\left\{ (1,0);(0,1) \right\} \).

La base canónica de \({ \Re  }^{ 3 }\) es \(\left\{ (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\right\} \).

Dimensión de un espacio vectorial

Descripción: 

Llamamos dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que forman una base del espacio vectorial.

Descriptores: 
Espacio vectorial
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Álgebra
Ejemplo: 

La dimensión del espacio vectorial \({ \Re  }^{ 2 }\) es 2.

Es decir, las bases de \({ \Re  }^{ 2 }\) tienen 2 vectores. La Base Canónica \(\left\{ (1,0),(0,1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) tiene 2 vectores.

Tambien el conjunto de 2 vectores \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base del espacio vectorial \({ \Re  }^{ 2 }\) .

Vamos a comprobar que el conjunto \(\left\{ (3,1),(2,-3),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) no es una base de \( { \Re  }^{ 2 }\). Es suficiente que ver que los vectores no son linealmente independientes:

Si tenemos una combinación lineal igualada a cero \(\alpha (3,1)+\beta (2,-3)+\gamma (0,-1)=(0,0)\), se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: \(3\alpha +2\beta +0\gamma =0\\\alpha-3\beta -\gamma=0\)

Este sistema admite multiples soluciones : \(\beta=-3\alpha; \gamma=10\alpha; \forall \alpha \in \Re \), no se cumple que todos los escalares valen cero. No son linealmente independientes. No es una base.

Componentes de un vector en una base

Descripción: 

Si  \(\left\{ { v }_{ 1 }; { v }_{ 2 }; ... ; { v }_{ n } \right\} \) es una BASE de  \({ \Re  }^{ n }\)  entonces \(\exists { \alpha  }_{ 1 }; { \alpha  }_{ 2 }; ...; { \alpha  }_{ n } \in \Re\)  que verifican  \(u=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha  }_{ i }· } { v }_{ i }\). La n-upla ordenada de números reales \(\left( { \alpha  }_{ 1 };{ \alpha  }_{ 2 }; ...;{ \alpha  }_{ n } \right) \) son las componentes del vector u en la base dada.

Descriptores: 
Espacio vectorial
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Álgebra
Ejemplo: 

Si \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base del espacio vectorial \({ \Re  }^{ 2 }\), y \(w=\left( 2,-1 \right) \in { \Re  }^{ 2 }\), se piden las componentes del vector \(w\) en esta base.

Sabemos que \(\exists \alpha ,\beta \in \Re \) tal que \(w=\alpha (3,1)+\beta (0,-1)\) porque \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base, es decir:

\((2,-1)=\alpha (3,1)+\beta (0,-1)\), resolvemos el sistema de ecuaciones que se obtiene de esta igualdad  \(2=\alpha·3+\beta·0,\\ -1=\alpha·1+\beta·(-1)\)

obtenemos la solución \(\alpha=2/3; \beta=5/3\), así \((2/3, 5/3)\) son las componentes de \(w\) en esta base: \(w=2/3·(3,1)+5/3· (0,-1)\)

Base de un espacio vectorial

Descripción: 

Un conjunto de vectores  \(\left\{ { v }_{ 1 }; { v }_{ 2 }; ... ; { v }_{ n } \right\} \subset \Re ^{ n }  \)  es una base del espacio vectorial   \(\Re ^{ n }\) sobre  \(\Re \) si es un conjunto de vectores linealmente independientes  y un sistema de generadores.

 

Descriptores: 
Espacio vectorial
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto de vectores \(\left\{ u=(2,1); v=(1,1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base.

a. Linealmente independientes: Dada la combinación lineal de los vectores igualada a cero;

\(\alpha ·u+\beta·v=\alpha (2,1)+\beta (1,1)=(2\alpha +\beta ,\alpha +\beta )=(0,0)\),

se obtiene el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas  siguiente

\(2\alpha +\beta =0;\\ \alpha +\beta =0 \)

la solución de este sistema es:  \(\alpha =\beta =0\)

b. Sistema de generadores:\(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad \exists \alpha ,\beta \in \Re \) tales que: \(\alpha ·u+\beta·v= (x,y) \)

\(\alpha (2,1)+\beta (1,1)=(2\alpha +\beta ,\alpha +\beta )=(x,y) \)

De donde tenemos el sistema de ecuaciones:

\( 2\alpha +\beta =x;\\ \alpha +\beta =y \)

la solución del sistema es: \(\alpha =x-y;\quad \beta =2y-x\)  \(\quad \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\)

Suma de vectores. Operación interna.

Descripción: 

La suma de vectores es una operación interna que se representa por: $$+:{ \Re  }^{ n }\times { \Re  }^{ n }⟶{ \Re  }^{ n }$$

$$(u,v)⟶w=u+v$$

Definición: \(u=\left( { x }_{ 1 };{ x }_{ 2 };...;{ x }_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\quad v=\left( { y }_{ 1 };y_{ 2 };...;y_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\Rightarrow w=u+v=\left( { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 };{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 };...;{ x }_{ n }+{ y }_{ n } \right)\in { \Re  }^{ n } \)

y que verifica las propiedades:

1. Conmutativa:\( u+v = v+u  \quad\forall u,v\in { \Re  }^{ n } \)

2. Asociativa:\( (u+v)+w = u+(v+w)\quad\forall u,v,w\in { \Re  }^{ n }\)

3. Existencia de elemento neutro, el \(0\in { \Re  }^{ n } / 0+u= u+0 = u \quad \forall u\in { \Re  }^{ n }\)

4. Existencia de elemento simétrico, \( \forall u\in { \Re  }^{ n }\quad \exists (-u){ \in \Re  }^{ n }/ u+(-u) =(-u)+u=0\)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Dado el conjunto de los pares ordenados de números reales \({ \Re  }^{ 2 }=\left\{ \left( x,y \right) /x,y\in \Re  \right\} \), definimos una operación interna, conocida como suma, en la forma habitual.

Dados los pares ordenados  \(u=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } v=({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } w=({ w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }\) donde \({ w }_{ 1 }={ u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 }\quad { w }_{ 2 }={ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 }\), decimos que \(w\) es la suma de \(u\) y \(v\), es decir,  \(w=u+v\).

La suma así definida es una operación interna en \({ \Re  }^{ 2 }\), el resultado de sumar dos elementos de \({ \Re  }^{ 2 }\) es un elemento de \({ \Re  }^{ 2 }\), se representa por una aplicación \(+:{ \Re  }^{ 2 }\times { \Re  }^{ 2 }{ \longrightarrow \Re  }^{ 2 } \).

1. La suma es conmutativa, \(u+v=v+u, \forall u,v\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(u+v=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })=({ u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 },{ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 })=({ v }_{ 1 }+{ u }_{ 1 },{v }_{ 2 }+{u }_{ 2 })=({ v}_{ 1 },{ v }_{ 2 })+({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })=v+u\)

2. Asociativa:\(\quad (u+v)+w=u+(v+w)\quad\quad\forall u,v,w\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(\left( u+v \right) +w=\left[ { (u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 }) \right] +{ (w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })={ (u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 },{ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 })+({ w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })=({ (u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 })+{ w }_{ 1 },({ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 })+{ w }_{ 2 })=\\ =({ u }_{ 1 }+({ v }_{ 1 }+{ w }_{ 1 }),{ u }_{ 2 }+({ v }_{ 2 }+{ w }_{ 2 }))=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+({ v }_{ 1 }+{ w }_{ 1 },{ v }_{ 2 }+{ w }_{ 2 })=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+\left[ ({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })+{ (w }_{ 1 },{ w }_{ 2 }) \right] =u+(v+w)\)

3. Existe elemento neutro \((0,0)\), \((0,0)+({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })=({ 0+u }_{ 1 },{ 0+u }_{ 2 })=({ u }_{ 1 }+0,{ u }_{ 2 }+0)=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })\)

4. Existe elemento opuesto \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\exists (-x,-y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad (x,y)+(-x,-y)=(0,0)\)

\((x,y)+(-x,-y)=(x-x,y-y)=(0,0)\)

El conjunto \({ \Re  }^{ 2 }\) con la suma así definida es un grupo conmutativo; cumple las propiedades exigidas a la operaciónm interna en un espacio vectorial.

Producto por un escalar: Operación externa

Descripción: 

La operación externa, producto de un vector por un escalar, se representa:

\({ · }_{ \lambda  }:{ \Re  }\times { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ n }\)

\((\lambda ,v)\longrightarrow u=\lambda ·v\)

Definición: \(\lambda \in \Re  v=\left( { x }_{ 1 };{ x }_{ 2 };...;{ x }_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\Rightarrow \lambda ·v=\left( { \lambda x }_{ 1 };{ \lambda x }_{ 2 };...;{ \lambda x }_{ n } \right)\in { \Re  }^{ n } \)

que verifica:

\(1.\quad \lambda ·(\mu ·v)=(\lambda \mu )·v;  \forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ n }\) asociatividad

\( 2.\quad \lambda .(u+v)=\lambda ·u+\lambda ·v ;\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ n } \)distributividad

\( 3.\quad (\lambda +\mu )·v=\lambda ·v+\mu ·v;   \forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ n }\) distributividad

\(4.\quad 1·v=v; 1\in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ n } \) existencia de elemento unidad

 

 

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

La operación externa, producto de un vector de \({ \Re  }^{ 2 }\)por un escalar, se representa:

\({ · }_{ \lambda  }:{ \Re  }\times { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\)

\((\lambda ,v)\longrightarrow u=\lambda ·v =\lambda ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } \)

verifica las propiedades:

\(1.\quad\lambda (\mu v)=\lambda (\mu ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }))=\lambda (\mu { x }_{ 1 },\mu { x }_{ 2 })=(\lambda \mu { x }_{ 1 },\lambda \mu { x }_{ 2 })=(\lambda \mu )({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=(\lambda \mu) v \quad\forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(2.\quad \lambda .(u+v)=\lambda ·u+\lambda ·v ;\quad \lambda (u+v)=\lambda (({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })+({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }))=(\lambda ({ y }_{ 1 }+{ x }_{ 1 },y_{ 2 }+{ x }_{ 2 }))=(\lambda ({ y }_{ 1 }+{ x }_{ 1 }),\lambda (y_{ 2 }+{ x }_{ 2 }))=\\ =(\lambda { y }_{ 1 }+\lambda { x }_{ 1 },\lambda y_{ 2 }+\lambda { x }_{ 2 })=(\lambda { y }_{ 1 },\lambda y_{ 2 })+(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })=\lambda ({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })+\lambda ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=\lambda u+\lambda v\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ 2 } \)

\(3.\quad (\lambda +\mu )·v=\lambda ·v+\mu ·v;  (\lambda +\mu )v=(\lambda +\mu )({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }))=((\lambda +\mu ){ x }_{ 1 },(\lambda +\mu ){ x }_{ 2 })=\\=(\lambda { x }_{ 1 }+\mu { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 }+\mu { x }_{ 2 })=(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })+(\mu { x }_{ 1 },\mu x_{ 2 })=\lambda ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })+\mu ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=\lambda v+\mu v\quad \forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ 2 } \)

\(4.\quad 1·v=v; 1\in \Re ,\quad 1v=1({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=(1{ x }_{ 1 },1{ x }_{ 2 })=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=v \quad \forall v\in { \Re  }^{ 2 } \)  existencia de elemento unidad

Combinación lineal de vectores

Descripción: 

Dados \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) vectores de un espacio vectorial \({ R }^{ n }\) el vector w que verifica: \(\exists { \alpha  }_{ i }\in R\) tal que \( w=\sum _{ i=1 }^{ m }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i } } \), se llama combinación lineal de los vectores. También se dice que w está generado por los vectores \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Dados los vectores \(\left\{ (3,1),(2,-3),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\), para el vector \(w=\left( 8,2 \right) \) , existen \(2,1,-3\in \Re \) que permiten escibir el vector \(w\) en la siguiente forma: \(w=2·(3,1)+(2,-3)-3(0,-1)\), por eso \(w\) es una combinación lineal de los tres vectores dados, también se dice que \(w\) esta generado por esos vectores.

Vectores linealmente dependientes

Descripción: 

Dados \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) vectores de un espacio vectorial \({ R }^{ n }\) si se verifica que: Dada\(\sum _{ i=1 }^{ m }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i }=0 \Longrightarrow  } { \exists i\in \left\{ 1,2,...,m \right\} /  \alpha  }_{ i }\neq 0\)  los vectores son linealmente dependientes.

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Los vectores \((3,1),(0,1),(1,1)\in { \Re  }^{ 2 }\) son linealmente dependientes.

Si hacemos \(\alpha ·(3,1)+\beta ·(0,1)+\gamma ·(1,1)=(0,0)\), al menos uno de los tres escalares \(\alpha,\beta, \gamma\) es no nulo.

\(\alpha ·(3,1)+\beta ·(0,1)+\gamma ·(1,1)=(3\alpha +\gamma ,\quad \alpha +\beta +\gamma )=(0,0)\Rightarrow 3\alpha +\gamma =0;\quad \alpha +\beta +\gamma =0\Rightarrow \gamma =-3\alpha ,\quad \beta =2\alpha \quad \forall \alpha \in \Re \), si \(\alpha \neq 0\) los tres escalares son no nulos. es decir, los tres vectores son linealmente dependientes.

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