Formas Cuadráticas

Se aplica en el estudio de óptimos.

Ecuación característica

Descripción: 

La ecuación \(\left| A-\lambda I \right| =0\) se denomina ecuación característica de la matriz \(A\).

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Buscar la ecuación característica de la matriz asociada a la forma cuadrática \(f(x,y)={ 2x }^{ 2 }+4{ y }^{ 2 }-9xy\)

a. La matriz asociada a esta forma cuadrática es: 

                                                                                                  

b. La ecuación característica viene dado por:

                                                                                 

Valor propio de una matriz cuadrada

Descripción: 

Dada una matriz cuadrada \( A\), decimos que \(\lambda \in \Re \) es un valor propio de \( A\), si cumple \(\left| A-\lambda I \right| =0\)

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Formas Cuadráticas
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Álgebra
Ejemplo: 

Calcular los valores propios de la matriz :

                                                                

Aplicando la formula \(\left| A-\lambda I \right| =0\), se obtiene:

                                                                  

es decir, \((1-\lambda )(-\lambda )(-2-\lambda )-9(1-\lambda )-(-2-\lambda )=-{ \lambda  }^{ 3 }-{ \lambda  }^{ 2 }+12\lambda -7=0\), las soluciones de la ecuación característica son los valores propios de la matriz, en este caso los valores propios son (con 5 decimales): \({ \lambda  }_{ 1 }={ 0'63913;\lambda  }_{ 2 }=2'58984;{ \lambda  }_{ 3 }=-4'22897\)

Carácter de una forma cuadrática

Descripción: 

Si \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) es una forma cuadrática, decimos que:

1. f es definida positiva si \(\forall x\in { \Re  }^{ n },\quad x\neq 0\quad \Rightarrow f(x)>0\)

2.  f es semidefinida positiva si \(\forall x\in{ \Re  }^{ n } ,f(x)\ge 0\) y \(\exists x\neq 0\) tal que \(f(x)=0\)

3.  f es definida negativa si \(\forall x\in{ \Re  }^{ n } ,\quad x\neq 0\quad \Rightarrow f(x)<0\)

4.  f es semidefinida negativa si  \(\forall x\in { \Re  }^{ n } ,f(x)\le 0\) y \(\exists x\neq 0\) tal que \(f(x)=0\)

5. f es indefinida en otro caso

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
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Álgebra
Ejemplo: 

a. Estudiar el carácter de la siguiente forma cuadrática \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad f(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\).

La forma cuadrática es definida positiva dado que\( f(x,y)>0 \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }, (x,y)\neq (0,0)\)

b.Estudiar el carácter de la siguiente forma cuadrática \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad f(x,y)={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }\)

Esta forma cuadrática es indefinida, \(\exists (2,1)\neq (0,0)/f(2,1)={ 2 }^{ 2 }-1=4-1=3>0\\ \exists (1,2)\neq (0,0)/f(1,2)=1-{ 2 }^{ 2 }=1-4=-3<0\)

Forma cuadrática

Descripción: 

Si A es una matriz simétrica de orden n. La forma cuadrática asociada a A es una aplicación \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) definida por:\(f(x)=: x'Ax;\quad \forall x\in { \Re  }^{ n } \)

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Escribir la forma cuadrática asociada a la matriz simétrica:

                                                                                        

Aplicando la fórmula \(f(x)=: x'Ax;\quad \forall x\in { \Re  }^{ 3 } \), se obtiene

      

 

 

Menor Principal

Descripción: 

Dada una matriz cuadrada \(A\), un menor principal es aquel determinante de una submatriz cuadrada de \(A\), en el que los elementos de su diagonal principal pertenecen a la diagonal principal de la matriz \(A\).

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
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Álgebra
Ejemplo: 

Obtener los menores principales de orden 2 de la matriz:

                                                                                                  

Los menores principales de orden 2, son los siguientes determinantes:

                                                                                                      

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