Topología

Conceptos básicos del lenguaje matemático.

Conjunto convexo

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) decimos que es convexo, si dado cualquier par de puntos del conjunto, el segmento que los une está incluido en el conjunto, es decir, si \(a,b\in A\subseteq { \Re  }^{ n }\Rightarrow \bar { ab } \subset A \), siendo \(\bar { ab } \) el segmento de extremos \(a\) y \(b\)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{2 }\), definido por \(A=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad x+y\le 1 \right\} \subset { \Re  }^{ 2 }\), es un conjunto convexo.

Seab \(a=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\in A\quad b=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\in A\) hay que ver si \(c=\lambda a+(1-\lambda )b=(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 },\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 })\in A\) con \( 0\le \lambda\le 1\)

\(a=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\in A\Rightarrow \quad { x }_{ 0 }\ge 0,\quad { y }_{ 0 }\ge 0,\quad { x }_{ 0 }+{ y }_{ 0 }\le 1\)

\( b=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\in A\Rightarrow \quad { x }_{ 1 }\ge 0,\quad { y }_{ 1 }\ge 0,\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }\le 1\)

\( 0\le \lambda\le 1,  c=\lambda a+(1-\lambda )b=(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 },\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 })\Rightarrow \lambda { x }_{ 0 }+(1-\lambda){ x }_{ 1 })\ge 0\), también \(\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 }\ge 0\)

Finalmente, si hacemos la suma de las componentes se tiene: \(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 }+\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 }=\lambda ({ x }_{ 0 }+{ y }_{ 0 })+(1-\lambda )({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 })\le \lambda +(1-\lambda )=1\)

Consecuentemente \(c\in A\)

Conjunto compacto

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) decimos que es compacto, si es cerrado y acotado.

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y\le -4;\quad y\le 4 \right\}  \) es un conjunto compacto.

1. Hemos de comprobar que es un conjunto cerrado: Este conjunto es el ejemplo de cerrado

2.- Hemos de ver que se trata de un conjunto acotado: Este conjunto es el ejemplo de acotado

Al ser un conjunto cerrado y acotado, es compacto.

Conjunto acotado

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) es acotado si existe una bola que lo contenga, es decir, \(\exists a\in { \Re  }^{ n }\) y \(\exists r>0\) tales que \(A\subseteq B(a,r)\)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \) es un conjunto acotado.

Si consideramos la Bola de centro en el punto \((-2,2)\in { \Re  }^{ 2 }\) y de radio r=3, se tiene que \(A\subset B((-2,2),3)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ (x+2) }^{ 2 }+{ (y-2) }^{ 2 }\le 9 \right\} \).

Es decir, el conjunto \(A\) es acotado

Conjunto cerrado

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) es cerrado, si contiene la totalidad de su frontera, es decir, si \(x\in Fr(A)\Rightarrow x\in A\)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y\le -4;\quad y\le 4 \right\}  \) es un conjunto cerrado.

1. Buscamos el conjunto frontera de \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\)

\(Fr(A)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y=-4 \quad con \quad y\le 4 \right\}\cup \left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/-4\le x\le 0,\quad y=4 \right\}  \),

2. Si \((x,y)\in Fr(A)\Rightarrow (x,y)\in A\), todos los puntos de la frontera de \(A\) pertenecen al conjunto \(A\)

Por lo que \(A\) es un conjunto cerrado.  

Conjunto abierto

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) es abierto, si no contiene ningún punto de su frontera, es decir, si \(x\in Fr(A)\Rightarrow x\notin A\)

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \) es un conjunto abierto.

1. Buscamos el conjunto frontera de \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\)

\(Fr(A)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y=-4 \quad con \quad y<4 \right\}\cup \left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/-4<x<0,\quad y=4 \right\} \),

2. Si \((x,y)\in Fr(A)\Rightarrow (x,y)\notin A\), los puntos de la frontera no pertenecen al conjunto

Por lo que \(A\) es un conjunto abierto.                                                                     

Conjunto frontera de un conjunto

Descripción: 

La frontera de un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) lo simbolizamos por Fr(A) y es el conjunto de todos los puntos frontera de A

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

Buscar el conjunto frontera del conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \).

El conjunto frontera de \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es: \(Fr(A)=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y=-4 \quad con \quad y<4 \right\}\cup \left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/-4<x<0,\quad y=4 \right\} \),

Porque: \(\forall (x,y)\in Fr(A),\quad \forall r>0,\quad B((x,y),r)\cap A\neq \phi \quad B((x,y),r)\cap A'\neq \phi \)

Punto frontera de un conjunto

Descripción: 

Dados \(a\in { \Re  }^{ n }\) y \( A\subseteq { \Re  }^{ n }\), decimos que \(a\in { \Re  }^{ n }\) es un punto frontera de  \( A\), si toda bola con centro en el punto \(a\), contiene elementos de \( A\) y de su complementario.

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \) . Si denotamos por \(A'\) el complementario del conjunto \(A\). Vamos a ver que \((0,4)\) y \((-2,0)\) son puntos frontera de \(A\).

 \( \forall r>0,\quad B((0,4),r)\cap A\neq \phi \quad B((0,4),r)\cap A'\neq \phi \Rightarrow  (0,4)\in Fr(A)\)

 \(\forall r>0,\quad B((-2,0),r)\cap A\neq \phi \quad B((-2,0),r)\cap A'\neq \phi\Rightarrow (-2,0)\in Fr(A)\)

 

                                                                               

Bola cerrada

Descripción: 

Dados \(a\in { \Re  }^{ n }\) y \(r>0 \) la bola cerrada de centro \(a\) y de radio \(r\), se simboliza por \(\bar { B } (a,r)\) y se define como \(\bar { B } (a,r)=:\left\{ x\in { \Re  }^{ n }/d(x,a)\le r \right\} \)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El intervalo cerrado \(  [3,5] \subset \Re \) es una bola cerrada de centro 4 y radio 1, \( [3,5]=\left\{ x\in \Re /3\le x\le 5 \right\} \)

El conjunto\(\overset { - }{ B } ((2,0);3)\)  de \({ \Re  }^{ 2 }\), dado por: \(\overset { - }{ B } ((2,0);3)=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/{ (x-2) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\le 9 \right\} \) es una bola cerrada en \({ \Re  }^{ 2 }\)

 

Bola abierta

Descripción: 

Dados \(a\in { \Re  }^{ n }\) y \(r>0\quad \) la bola abierta de centro \(a\) y de radio \(r\), se simboliza por \(B(a,r)\) y se define como \(B(a,r)=:\left\{ x\in { \Re  }^{ n }/d(x,a)<r \right\} \)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El intervalo abierto \(  ]3,5[ \subset \Re \) es una bola abierta de centro 4 y radio 1, \(  ]3,5[=\left\{ x\in \Re /3<x<5 \right\} \)

                                                                              

El conjunto\(B((2,0);3)\)  de \({ \Re  }^{ 2 }\), dado por: \(B((2,0);3)=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/{ (x-2) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }<9 \right\} \) es una bola abierta en \({ \Re  }^{ 2 }\)

 

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