Álgebra

Parte de las matemáticas donde se estudian las herramientas de trabajo: números, matrices, operaciones, etc

Punto frontera de un conjunto

Descripción: 

Dados \(a\in { \Re  }^{ n }\) y \( A\subseteq { \Re  }^{ n }\), decimos que \(a\in { \Re  }^{ n }\) es un punto frontera de  \( A\), si toda bola con centro en el punto \(a\), contiene elementos de \( A\) y de su complementario.

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\) definido por \(A=\left\{ \left( x,y \right) \in { \Re  }^{ 2 }/{ x }^{ 2 }+4x-y<-4;\quad y<4 \right\} \) . Si denotamos por \(A'\) el complementario del conjunto \(A\). Vamos a ver que \((0,4)\) y \((-2,0)\) son puntos frontera de \(A\).

 \( \forall r>0,\quad B((0,4),r)\cap A\neq \phi \quad B((0,4),r)\cap A'\neq \phi \Rightarrow  (0,4)\in Fr(A)\)

 \(\forall r>0,\quad B((-2,0),r)\cap A\neq \phi \quad B((-2,0),r)\cap A'\neq \phi\Rightarrow (-2,0)\in Fr(A)\)

 

                                                                               

Bola cerrada

Descripción: 

Dados \(a\in { \Re  }^{ n }\) y \(r>0 \) la bola cerrada de centro \(a\) y de radio \(r\), se simboliza por \(\bar { B } (a,r)\) y se define como \(\bar { B } (a,r)=:\left\{ x\in { \Re  }^{ n }/d(x,a)\le r \right\} \)

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Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El intervalo cerrado \(  [3,5] \subset \Re \) es una bola cerrada de centro 4 y radio 1, \( [3,5]=\left\{ x\in \Re /3\le x\le 5 \right\} \)

El conjunto\(\overset { - }{ B } ((2,0);3)\)  de \({ \Re  }^{ 2 }\), dado por: \(\overset { - }{ B } ((2,0);3)=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/{ (x-2) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\le 9 \right\} \) es una bola cerrada en \({ \Re  }^{ 2 }\)

 

Bola abierta

Descripción: 

Dados \(a\in { \Re  }^{ n }\) y \(r>0\quad \) la bola abierta de centro \(a\) y de radio \(r\), se simboliza por \(B(a,r)\) y se define como \(B(a,r)=:\left\{ x\in { \Re  }^{ n }/d(x,a)<r \right\} \)

Descriptores: 
Topología
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Álgebra
Ejemplo: 

El intervalo abierto \(  ]3,5[ \subset \Re \) es una bola abierta de centro 4 y radio 1, \(  ]3,5[=\left\{ x\in \Re /3<x<5 \right\} \)

                                                                              

El conjunto\(B((2,0);3)\)  de \({ \Re  }^{ 2 }\), dado por: \(B((2,0);3)=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/{ (x-2) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }<9 \right\} \) es una bola abierta en \({ \Re  }^{ 2 }\)

 

Distancia en un espacio vectorial

Descripción: 

Definimos la distancia en un espacio vectorial como la aplicación que se representa en la forma:

\(d:{ \Re  }^{ n }\times { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ + }\)  y que viene dada en la siguiente forma: \(d(u,v)=:\parallel u-v\parallel \)

Descriptores: 
Espacio euclídeo
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Álgebra
Ejemplo: 

Definimos la distancia habitual en \( { \Re  }^{ 2}\), la representamos por \(d:{ \Re  }^{ 2 }\times { \Re  }^{ 2}\longrightarrow { \Re  }^{ + }\\ (u,v)\longrightarrow d(u,v)=:\parallel u-v\parallel\).

Dados dos vectores cualquiera \(u=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\quad v=({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(d(u,v)=:\parallel u-v\parallel= \left\| ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 },{ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 }) \right\| =+\sqrt { { ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }) }^{ 2 }+{ ({ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 }) }^{ 2 } } \)

Si \(u=(1,2)\quad v=(-1,1)\in { \Re  }^{ 2 }\Rightarrow d(u,v)=\left\| u-v \right\| =\left\| (1-{ (-1) },2-1 \right\| =+\sqrt { { (2) }^{ 2 }+{ (1) }^{ 2 } } =+\sqrt { 5 } \)

Base ortogonal y base ortonormal

Descripción: 

Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.

Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios

Descriptores: 
Espacio euclídeo
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Álgebra
Ejemplo: 

a. Comprobar que los vectores \((3,1) (-2,6)\) es una base ortogonal de \({ \Re  }^{ 2 }\)

b. Comprobar que los vectores \((3/\sqrt { 10 }, 1/\sqrt { 10 } )\quad (-2/\sqrt { 40 } ,6/\sqrt { 40 })\) de \({ \Re  }^{ 2 }\) forman una base ortonormal

a. Los vectores  \(u=(3,1), v=(-2,6)\) forman una base

Son linealmente independientes

\(\lambda u+\mu v=\lambda (3,1)+\mu (-2,6)=(3\lambda ,\lambda )+(-2\mu ,6\mu )=(3\lambda -2\mu ,\lambda +6\mu )=(0,0)\Rightarrow 3\lambda -2\mu =0,\quad \lambda +6\mu =0\Rightarrow \lambda =\mu =0\)

Es un sistema de generadores

\(\lambda u+\mu v=\lambda (3,1)+\mu (-2,6)=(3\lambda ,\lambda )+(-2\mu ,6\mu )=(3\lambda -2\mu ,\lambda +6\mu )=(x,y)\Rightarrow 3\lambda -2\mu =x,\quad \lambda +6\mu =y\Rightarrow \lambda =\frac { 3x+y }{ 10 } \mu =\frac { y-7x }{ 10 } \)

Son ortogonales, hacemos el producto escalar de los dos vectores

\(\left( 3,1 \right) ·(-2,6)=(3(-2)+6)=0\Rightarrow cos\alpha =0\Rightarrow \alpha =90º\)

El ángulo que forman los dos vectores es un ángulo recto, porque el producto escalar vale cero.

b. Como \(\left\| (3,1) \right\| =\sqrt { 10 } \), el vector \({ u }_{ 1 }=(3/\sqrt { 10 } ,\quad 1/\sqrt { 10 } )\) es el vector unitario en la dirección del vector \(u=(3,1)\)

y como \(\left\| (-2,6) \right\| =\sqrt { 40 } \) el vector \({ v }_{ 1 }=(-2/\sqrt { 40 } ,6/\sqrt { 40 } )\) es el vector unitario en la dirección del vector \( v=(-2,6)\). Por lo tanto:

Los vectores \({ u }_{ 1 }, { v }_{ 1 }\) forman una base ortonormal

Vectores ortogonales

Descripción: 

Dos vectores  \(u,v\in { \Re  }^{ n }\), no nulos,  decimos que son ortogonales cuando son vectores perpendiculares, es decir, forman un ángulo recto (90º). Que dos vectores  \(u,v\in { \Re  }^{ n }\) son ortogonales se representa por \(u\bot v\), es decir: \(u\bot v\Longrightarrow \alpha =90º\Longrightarrow cos\alpha =0\)

Descriptores: 
Espacio euclídeo
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Álgebra
Ejemplo: 

Comprobar que los vectores \(u=(1,2)\in { \Re  }^{ 2 }\quad v=(-2, 1)\in { \Re  }^{ 2 }\) son ortogonales.

Calculamos el producto escalar de los dos vectores: \(u·v=(1,2)·(-2,1)=-2+2=0\), como los vectores son no nulos, el coseno del ángulo que forman es cero, \( cos\alpha =0\), es decir, el ángulo que forman los dos vectores es: \(\alpha =90º\)

Ángulo de dos vectores

Descripción: 

El ángulo (\(\alpha\) ) que forman dos vectores \(u,v\in { \Re  }^{ n }\), no nulos, se obtiene de la igualdad:  \(u·v=\parallel u\parallel ·\parallel v\parallel cos\alpha \), es decir:

\(\alpha =arccos\frac { u·v }{ \parallel u\parallel ·\parallel v\parallel  } \)

Descriptores: 
Espacio euclídeo
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Álgebra
Ejemplo: 

Que ángulo forman los dos vectores \(u=(1,0)\in { \Re  }^{ 2 }\quad v=(-2,-2)\in { \Re  }^{ 2 }\), no nulos.

1. Calculamos el producto escalar: \(u·v=(1,0)·(-2,-2)=-2+0=-2\)

2. Calculamos la norma de cada uno de los vectores: \(\left\| u \right\| =\left\| (1,0) \right\| =+\sqrt { 1 } =1\\ \left\| v \right\| =\left\| (-2,-2) \right\| =+\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)

3. Calculamos el coseno del ángulo que forman, a partir de la fórmula: \(cos\alpha =\frac { u·v }{ \left\| u \right\| ·\left\| v \right\|  } \), en nuestro caso se obtiene \(cos\alpha =\frac { (1,0)·(-2,-2) }{ \left\| (1,0) \right\| ·\left\| (-2,-2) \right\|  } =\frac { -2 }{ 1.2\sqrt { 2 }  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } =-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \)

De donde se obtiene que \(\alpha =arccos(-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }) =315º\)

Vector unitario

Descripción: 

Decimos que un vector \(u\in { \Re  }^{ n }\) es un vector unitario cuando su norma es 1: \(\parallel u\parallel =1\)

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Espacio euclídeo
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Álgebra
Ejemplo: 

El vector \((1,1)\in { \Re  }^{ 2 }\), no es unitario, dado que\( \left\| (1,1) \right\| =+\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =+\sqrt { 2 }\neq 1 \)

El vector \((1/\sqrt { 5 } ,2/\sqrt { 5 } ) \in  { \Re  }^{ 2 }\) es un vector unitario porque:\(\left\| (1/\sqrt { 5 } ,2/\sqrt { 5 } ) \right\| =+\sqrt { { ( 1/{ \sqrt { 5 }  } ) }^{ 2 }+{ ( 2/ { \sqrt { 5 }  } ) }^{ 2 } } =+\sqrt { {  { 1 }/{ 5 } +{  { 4 }/{ 5 }  } } } =1\)

 

Norma de un vector

Descripción: 

Definimos la norma de un vector de \({ \Re  }^{ n }\), que también se llama longitud o modulo del vector, a una aplicación que se representa por:

\(\parallel  \quad \parallel : { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ + }\\ \quad\quad \quad u\longrightarrow \quad\parallel u\parallel \)  que se expresa como sigue: \(\parallel u\parallel =:+\sqrt { \left< u,u \right>  } =+\sqrt { { u }_{ 1 }^{ 2 }+{ u }_{ 2 }^{ 2 }+...+{ u }_{ n }^{ 2 } } \), donde \(u=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 },...,{ u }_{ n })\in { \Re  }^{ n }\)

Descriptores: 
Espacio euclídeo
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Álgebra
Ejemplo: 

Definimos la norma  habitual de un vector de \({ \Re  }^{ 2}\), como la aplicación que se representa por:  Dado \(u=({ x },{ y })\in { \Re  }^{ 2 }\)

\( \parallel  \quad \parallel : { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ + }\\ \quad \quad  \quad u\longrightarrow \parallel u\parallel \)  que se expresa como sigue: \(\parallel u\parallel =:+\sqrt { \left< u,u \right>  } =+\sqrt { x^{ 2 }+y^{ 2 }} \)

Dado \(u=(1,2)\Rightarrow \left\| u \right\| =\left\| (1,2) \right\| =+\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =+\sqrt { 5 } \)

Producto escalar de vectores

Descripción: 

Se representa por \(\left< \quad \right> :{ \Re  }^{ n }\times { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \\\quad\quad (u,v)\longrightarrow \left< u,v \right> =u·v\), la aplicación que definimos en la siguiente forma:

Sean \(u=\left( { u }_{ 1 }; { u }_{ 2 }; ...;{ u }_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\quad v=\left( { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 }; ...;{ v }_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\)  el producto escalar lo definimos por:  \(u·v=\left< u,v \right> =\left( { u }_{ 1 }; { u }_{ 2 }; ...;{ u }_{ n } \right) ·\left( { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ n } \right) =:{ u }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ u }_{ 2 }{ v }_{ 2 }+ ...+{ u }_{ n }{ v }_{ n } = { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { u }_{ i }{ v }_{ i } }  }\)

Descriptores: 
Espacio euclídeo
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Definimos el producto escalar habitual en \({ \Re  }^{2 }\), en la forma: Sean \(u=\left( { u }_{ 1 }; { u }_{ 2 } \right) \in { \Re  }^{2 } \quad v=\left( { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 } \right) \in { \Re  }^{ 2 }\)  el producto escalar habitual viene dado por:  \(u·v=\left< u,v \right> =\left( { u }_{ 1 }; { u }_{ 2 } \right) ·\left( { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 } \right) =:{ u }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ u }_{ 2 }{ v }_{ 2 } \)

Si \(u=(1,2)\quad v=(-1,1)\in { \Re  }^{ 2 }\Rightarrow u·v=(1,2)·(-1,1)=1·(-1)+2·1=-1+2=1\)

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