Álgebra

Parte de las matemáticas donde se estudian las herramientas de trabajo: números, matrices, operaciones, etc

Combinación lineal de vectores

Descripción: 

Dados \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) vectores de un espacio vectorial \({ R }^{ n }\) el vector w que verifica: \(\exists { \alpha  }_{ i }\in R\) tal que \( w=\sum _{ i=1 }^{ m }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i } } \), se llama combinación lineal de los vectores. También se dice que w está generado por los vectores \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Dados los vectores \(\left\{ (3,1),(2,-3),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\), para el vector \(w=\left( 8,2 \right) \) , existen \(2,1,-3\in \Re \) que permiten escibir el vector \(w\) en la siguiente forma: \(w=2·(3,1)+(2,-3)-3(0,-1)\), por eso \(w\) es una combinación lineal de los tres vectores dados, también se dice que \(w\) esta generado por esos vectores.

Vectores linealmente dependientes

Descripción: 

Dados \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) vectores de un espacio vectorial \({ R }^{ n }\) si se verifica que: Dada\(\sum _{ i=1 }^{ m }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i }=0 \Longrightarrow  } { \exists i\in \left\{ 1,2,...,m \right\} /  \alpha  }_{ i }\neq 0\)  los vectores son linealmente dependientes.

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Los vectores \((3,1),(0,1),(1,1)\in { \Re  }^{ 2 }\) son linealmente dependientes.

Si hacemos \(\alpha ·(3,1)+\beta ·(0,1)+\gamma ·(1,1)=(0,0)\), al menos uno de los tres escalares \(\alpha,\beta, \gamma\) es no nulo.

\(\alpha ·(3,1)+\beta ·(0,1)+\gamma ·(1,1)=(3\alpha +\gamma ,\quad \alpha +\beta +\gamma )=(0,0)\Rightarrow 3\alpha +\gamma =0;\quad \alpha +\beta +\gamma =0\Rightarrow \gamma =-3\alpha ,\quad \beta =2\alpha \quad \forall \alpha \in \Re \), si \(\alpha \neq 0\) los tres escalares son no nulos. es decir, los tres vectores son linealmente dependientes.

Vectores linealmente independientes

Descripción: 

 

  Dados \(\left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \) vectores de un espacio vectorial\(\quad { R }^{ n }\) se dice que son linealmente independientes si  se verifica que:\( Dado \sum _{ i=1 }^{ m }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i }= 0\Longrightarrow  } { \alpha  }_{ i }=0  \forall i=1,2,...,m\)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Comprobar que los vectores \((1,2, 1), (0,1,1)\) de \({ \Re  }^{ 3 }\) son linealmente independientes.

Dada una combinación lineal de los vectores igualada a cero:

\(\alpha (1,2,1)+\beta (0,1,1)=(0,0,0)\Longrightarrow \alpha =\beta =0\), los escalares son nulos.

De la igualdad de vectores \(\alpha (1,2,1)+\beta (0,1,1)=(0,0,0)\) se obtiene un sistema de ecuaciones lineales:

\(\alpha =0\\ 2\alpha +\beta =0\\ \alpha +\beta =0\)

que es compatible determinado y su solución es \(\alpha =\beta =0\), es decir, los dos vectores son linealmente independientes

Menor Principal

Descripción: 

Dada una matriz cuadrada \(A\), un menor principal es aquel determinante de una submatriz cuadrada de \(A\), en el que los elementos de su diagonal principal pertenecen a la diagonal principal de la matriz \(A\).

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Obtener los menores principales de orden 2 de la matriz:

                                                                                                  

Los menores principales de orden 2, son los siguientes determinantes:

                                                                                                      

Aplicación lineal

Descripción: 

Sean \({ \Re  }^{ n }\)y \({ \Re  }^{ m }\) dos espacios vectoriales sobre \(\Re \), la aplicación  \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\) que verifica: 

1. \(f(u+v)=f(u)+f(v)\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ n }\)

2. \(f(\lambda ·u)=\lambda ·f(u)\quad \forall u\in { \Re  }^{ n }\quad \forall \lambda \in { \Re  }\)

la llamamos aplicación lineal.

 

Descriptores: 
Aplicaciones lineales
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Sean \({ \Re  }^{ 2 }\) y \({ \Re  }^{ 3 } \) espacios vectoriales sobre \({ \Re  }\),  la función  \(f:{ \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 3 } \) dada por \(f(x,y)=(x,x+y,x-y)\), es una aplicación lineal, es decir:

1. \(f\left[ ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 }) \right] =f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }-({ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }))=\\ =({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }+({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 }),\quad ({ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 }-{ y }_{ 2 }))=({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },\quad { x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },\quad { x }_{ 2 }-{ y }_{ 2 })=\\=f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+f({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 });\quad \forall ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }),({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }\)

2. \(f\left[ \lambda (x,y) \right] =f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x,\quad \lambda x+\lambda y,\quad \lambda x-\lambda y)=\lambda (x,x+y,x-y)=\lambda·f(x,y);\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\)

 

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