Óptimos

Concepto básico en gran parte de los modelos económicos, fundamento de la programación matemática y de la teoría de juegos.

Punto crítico de una función real de variable real

Descripción: 

Dada una función real de variable real, \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \), diferenciable (derivable), siendo \(A\) un conjunto abierto de \({ \Re  }\), decimos que \(a\in A\) es un punto crítico de \(f\) si cumple \( f'(a)=0\), es decir, la derivada de \(f\) en el punto \(a\in A\) se anula.

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real, \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \), definida por \(y=f(x)=2x^2-3\). Ver que tiene un punto crítico en \(a=0\)

Calculamos la función derivada de \(f\) y su valor en \(a=0\)

\(y'=f'(x)=2x\Rightarrow f'(0)=2·0=0\)

El punto \(a=0\) es un punto crítico

Punto crítico de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), diferenciable, siendo \(A\) un conjunto abierto de \({ \Re  }^{ n }\), decimos que \(a\in A\) es un punto crítico de \(f\) si cumple \(\triangledown f(a)=0\), es decir, el vector gradiente de \( f\) en el punto \(a\in A\) se anula.

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones

Máximo (mínimo) local de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo local o relativo en \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica \(f(x)\le f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo local o relativo en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica\( f(x)\ge f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que\(f\) presenta un máximo local  estricto en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica\(f(x)<f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo local estricto en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica \(f(x)>f(a)\)

Descriptores: 
Óptimos
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Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

 

Dada la función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5\). Probar que \(f\) presenta un mínimo local en \(a=(1,2)\in A\).

a. Calculamos la imagen de   \(a=(1,2)\in A ={\Re  }^{ 2 }\).

\(f(1,2)=1^2+2^2-2·1-4·2+5=0\)

b. Calculamos la imagen de  \((x,y)\in \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) siendo \( \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) un entorno del punto \((1,2)\), es decir: \(\beta =\left\{ (x,y)\in \Re ^{ 2 }/d((x,y),(1,2))<\varepsilon   \right\} \)

\(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 =x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0 =f(1,2)\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 }\)

La función \(f\) presenta un mínimo local en el punto  \(a=(1,2)\). Se trata de un mínimo estricto, no existe ningún punto de \((x,y)\in \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) distinto del \((1,2)\), cuya imagen sea \(0\), es decir, \(f(x,y)\neq 0\quad \forall (x,y)\in \beta;(x,y)\neq (1,2)\)

Máximo (mínimo) global de una función escalar

Descripción: 

 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)\le f(a)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)\le f(x)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global  estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)< f(a)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo global estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)> f(x)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5\). Probar que \(f\) presenta un mínimo global en \(a=(1,2)\in A\).

a. Calculamos la imagen de   \(a=(1,2)\in A ={\Re  }^{ 2 }\).

\(f(1,2)=1^2+2^2-2·1-4·2+5=0\)

b. Calculamos la imagen de  \((x,y)\in {\Re  }^{ 2 }\)

\(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 =x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0 =f(1,2)\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 }\)

La función \(f\) presenta un mínimo global en el punto  \(a=(1,2)\in {\Re  }^{ 2 }\). Se trata de un mínimo estricto, no existe ningún punto de \({\Re  }^{ 2 }\) distinto del \((1,2)\), cuya imagen sea \(0\), es decir, \(f(x,y)\neq 0\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 };(x,y)\neq (1,2)\)

 

Máximo (mínimo) local de una función real de variable real

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo local o relativo en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le f(a)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo local o relativo en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(a)\ge f(x)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un máximo local estricto en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< f(a)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo local estricto en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(a)> f(x)\).

Descriptores: 
Óptimos
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Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), definida por \(f(x)=1-x \quad si  0\le x\le 1\) y \( f(x)=2-x\quad \forall x>1\), ver que en el punto \(x=1\) la función tiene un mínimo local y en \(x=0\) presenta un máximo local.

a. Mínimo local.

La imagen de \(1\) es \(f(1)=0\)

Si \(0<x<1\Rightarrow f(x)>0=f(1)\) y si \( 1<x<2\Rightarrow f(x)>0=f(1)\)

Si tomamos valores de \(x\) próximos a \(1\),es suficiente considerar  \(0<x<2, x\neq 1\) se cumple la definición de mínimo local (es un mínimo estricto)

b. Máximo local.

La imagen del punto es: \(f(0)=1\)

Si \(0<x<1\Rightarrow f(x)<1=f(0)\).

Si tomamos valores de \(x\) próximos a \(0\),es suficiente considerar  \(0<x<1, x\neq 0\) se cumple la definición de máximo local (es un máximo estricto)

 

Máximo (mínimo) global de una función real de variable real.

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)\le f(a)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)\le f(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)< f(a)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)> f(x)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(y=f(x)=x, \forall x\in [0,1]\), es decir, el dominio de la función es \(A=dom(f)=[0,1]\), el intervalo cerrado de extremos \(0\) y \(1\)

Comprobar que la función presenta un máximo global en \(x=1\) y un mínimo global en \(x=0\)

a. Máximo global

\(f(1)=1\ge x=f(x),\forall x\) dado que \(  x\in [0,1]\Rightarrow 0\le x\le 1\)

b. Mínimo global

\(f(0)=0 \le x=f(x),\forall x\) dado que \(  x\in [0,1]\Rightarrow 0\le x\le 1\)

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