Continuidad

Concepto básico para entender el lenguaje matemátrico

Función continua en un conjunto

Descripción: 

Decimos que una función \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \)es continua en un conjunto \(B\subseteq A\) si es continua en todos los puntos de \( B\quad ( \forall x\in B)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Las siguientes funciones reales de variable real, \(f:\Re \longrightarrow \Re \), con dominio todo \(\Re \) son continuas.

a) Las funciones polinómicas.

b) Las funciones exponenciales.

c) Las funciones trigonométricas \(y=sen(x)\); \(y=cos(x)\)

d) El dominio de la función logaritmica con base positiva es el conjunto de los números reales positivos (\(x>0)\). Es continua en su dominio.

 

 

⊆R⟶R\)

Continuidad de una función en un punto

Descripción: 

Decimos que la función \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) es continua en el punto \(a\in A \) cuando se verifica \(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) } =f(a)\). Es decir, el valor de la función en el punto coincide con el límite de la función en ese mismo punto. 

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \( f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)={ x }^{ 2 }+2\) comprobar que es una función continua en el punto a=1

Tenemos que encontrar el límite de la función en el punto, la imagen del punto y ver si coinciden.

a) Imagen de \(f(x)\) en \(a=1\), es decir, el punto pertenece al dominio de la función:  \(1\in Domf\)

\(f(1)={ 1 }^{ 2 }+2=1+2=3\)

b) Límite de \(f(x)\) en \(a=1\)

\(\underset { x\rightarrow { 1 }}{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }={ 1 }^{ 2 }+2=3\)

c) Coinciden:  \(f(1)=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }=3\)

La función dada es continua en el punto \(a=1\)

 

Función escalar continua en un punto

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) decimos que es continua en un punto \(a\in A\) si se cumple \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x) = f(a)\)

También se puede escribir \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x)=f(a)\Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0\quad /\quad \forall x\in A,\quad x\neq a\quad \left\| x-a \right\| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-f(a) \right| <\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\) por \(z=f(x,y)=x+y\). Probar que es continua en el punto\( (0,0)\)

1.- Calculamos la imagen del punto: \(f(0,0)=0+0=0\)

2.-  Calculamos el límite en el punto:\( \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ f(x,y) } =\lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ (x+y) } =0\)

3.- Como la imagen y el límite coinciden, la función es continua en el punto

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