Derivada

Concepto de aplicación en la economía y empresa, teoría marginal y optimización

Matriz Hessiana de una función escalar

Descripción: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) si en el punto \(a\in A\) existen las derivadas parciales segundas, definimos la matriz hessiana de \(f\) en el punto  \(a\in A\) y la representamos por \(Hf(a)\), la matriz cuadrada \(n\times n\), donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente derivada parcial. primera, es decir:

 

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones

Función derivada parcial segunda

Descripción: 

Se llaman derivadas parciales segundas de una función a las derivadas parciales de las funciones derivadas parciales (primeras). Se representan en la siguiente forma:

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }_{ i }\partial { x }_{ j } } (x)=:\frac { \partial { (\frac { \partial { f } }{ \partial { x }_{ i } } (x)) } }{ \partial { x }_{ j } } \), la derivada parcial segunda de \(f\) respecto de \({ x }_{ i }\) y de \({ x }_{ j }\) es la que se obtiene haciendo la derivada parcial primera de la función derivada parcial primera \(\frac { \partial { f } }{ \partial { x }_{ i } } (x)\) respecto de  \({ x }_{ j }\).

Si hacemos la derivada parcial respecto de la misma variable dos veces, hablamos de la derivada parcial segunda respecto de \({ x }_{ i }\) dos veces, la representamos:

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x }_{ i } \right)  }^{ 2 } } (x)=:\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial { x }_{ i }\partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 3 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y,z) = x^2+3xy-xz\). Calcular las derivadas parciales segundas: \(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }\partial {y } } (x,y,z)\); \(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x } \right)  }^{ 2 } } (x,y,z)\)

Primero calculamos las funciones derivadas parciales primeras

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } (x,y,z)=2x+3y-z\)

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { y } } (x,y,z)=3x\)

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { z } } (x,y,z)=-x\)

En segundo lugar derivamos la función derivada parcial primera respecto de \(x\) respectos de sus variables \(y\) y \(x\)

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }\partial {y } } (x,y,z)=\frac{ {\partial}{ \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } } }{\partial { y } } (x,y,z)=3\)

 

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x } \right)  }^{ 2 } } (x,y,z)=\frac{ {\partial}{ \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } } }{\partial { x } } (x,y,z)=2\)

Función derivada parcial de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\), definimos la función derivada parcial primera de \(f \) respecto de la variable \({ x }_{ i }\), como función escalar que a cada punto  \(x\in A\) le hace correspopnder la derivada parcial de \(f\) respecto de la variable \({ x }_{ i }\)  en ese punto:  \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definida por \(f(x,y)=x^2+3xy\), calcular la función derivada parcial de \(f\) respecto a \(x\), \(\frac { \partial f }{ \partial { x } } (x,y)\)

La función derivada parcial se obtiene derivando \(f(x,y)\) respecto de la variabla \(x\), considerando la otra variable (la \(y\)) como constante:

\(\frac { \partial f }{ \partial { x } } (x,y)=2x+3y\)

Matriz jacobiana de una función vectorial

Descripción: 

Dada una función vectorial \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\), donde \(\left( { f }_{ 1 },{ f }_{ 2 },\quad ...\quad ,{ f }_{ m } \right) \) son las funciones escalares componentes de \(f\). Si \(\exists ∇f_{ i }(a)\forall i=1,2,\quad ...,\quad m\). Definimos la matriz Jacobiana de \(f\) en el punto \(a\in A\), y la representamos por \(Jf(a)\), mediante la matriz \(m\times n\) donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente función componente, es decir:

 

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones

Función derivada elástica parcial. Función elástica y función rígida

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), siendo su dominio A un conjunto abierto. Si existe la \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)\) en todos los puntos del dominio.

Definimos la función derivada elástica parcial de la función \(f\) respecto a \( { x }_{ i } \) por : \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)=\frac { { x }_{ i } }{ f(x) } .\frac { \partial f(x) }{ \partial { x }_{ i } } \)

Decimos que la función f es elástica respecto de \( { x }_{ i }\) en el punto  \(a\in A\) si verifica \(\left| { E }_{ { x }_{ i } }f(a) \right| >1\)

Decimos que la función f es rígida respecto de \( { x }_{ i }\) en el punto  \(a\in A\) si verifica \(\left| { E }_{ { x }_{ i } }f(a) \right| <1\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) = x^2+y\).   a) Se desea conocer la función derivada elástica respecto de \(x\).  

b) Decir si la función es elástica o rígida en el punto \((2,1)\)

a) Aplicamos la fórmula: \({ E }_{ { x } }f(x,y)=\frac { { x } }{ f(x,y) } .\frac { \partial f(x,y) }{ \partial { x } } \)

Calculamos la función derivada parcial: \(\frac { \partial f(x,y) }{ \partial { x } } =2x\)

Sustituimos en la fórmula:  \({ E }_{ { x } }f(x,y)=\frac { { x } }{x^2+y } . {2x }=\frac{2x^2}{x^2+y}\)

b) Sustituimos el punto \((2,1)\) en la derivada elástica obtenida en el apartado anterior.

\({ E }_{ { x } }f(2,1)=\frac { { 2 } }{5} .4 =\frac { { 8 } }{5}>1\): Es elástica

Función derivada elástica de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), donde\( A\) es abierto y \(f(x)\neq 0\), si existe la función derivada parcial de \( f\) respecto de \({ x }_{ i }\), \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\), definimos la función derivada elástica de \(f\) respecto de  \({ x }_{ i }\) en la forma: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)=:\frac { x_{ i } }{ f(x) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) =x^2+y\), calcular la función derivada elástica de \(f\) respecto de \(x\).

1.- Calculamos la función derivada parcial:

\(\frac { \partial f }{ \partial { x } } (x,y)=2x\)

2.- Sustituimos en la fórmula anterior: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)=:\frac { x_{ i } }{ f(x) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\)

\({ E }_{ { x } }f(x,y)=:\frac { x }{ f(x,y) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }} (x,y)=\frac { x }{ x^2+y } ·2x=\frac { 2x^2 }{ x^2+y}\)

Elasticidad o Derivada elástica de una función escalar en un punto

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), siendo su dominio A un conjunto abierto. Si \(a\in A\) con \(f(a)\neq 0\) y si \(\exists \frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\), definimos la elasticidad o derivada elástica de f respecto de \({ x }_{ i }\)en el punto \(a\in A\) en la forma:

\({ E }_{ { x }_{ i } }f(a)=:\underset { { x }_{ i }\rightarrow a_{ i } }{ lim } \frac { \frac { f(x)-f(a) }{ f(a) }  }{ \frac { { x }_{ i }-a_{ i } }{ a_{ i } }  } =\frac { a_{ i } }{ f(a) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) = x^2+y\), se desea conocer la elasticidad de \(f \) respecto a \(x\) en el punto \((2,1)\)

Aplicamos la fórmula: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(a)=\frac { a_{ i } }{ f(a) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\) haciendo \(a=(2,1)\), \( { x }_{ i }=x\), \( a_{ i }=2\)

1.- Calculamos la imagen del punto \(f(2,1) = 2^2+1=5\neq 0\)

2.- Calculamos la derivada parcial de \(f\) respecto de \(x\) en el punto \((2,1)\)

La función derivada parcial es: \(\frac { \partial f }{ \partial { x } }(x,y)=2x\)

La derivada parcial en el punto es: \(\frac { \partial f }{ \partial { x }}(2,1)=2·2=4\)

Sustituimos en la fórmula: \({ E }_{ { x } }f(2,1)=\frac { 2 }{ f(2,1) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x } } (2,1)=\frac { 2 }{ 5 } ·4 =\frac { 8 }{ 5 }\)

Derivada direccional de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) y dado un punto del dominio \(a\in A\). Dado un vector unitario \(v\in { \Re  }^{ n } \quad \left\| v \right\| =1\), la recta definida por la dirección del vector \(v\) que pasa por el punto \(a\in A\) es \(x=a+hv\), con \(h\in \Re\). Definimos la derivada direccional de f en el punto \(a\in A\) como el limite, si existe, siguiente:

\({ f }_{ v }^{ ' }(a)=:\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } \)

Si la recta definida por el vector \( v\) es uno de los ejes de coordenadas \({ x }_{ i }\), la derivada direccional se llama derivada parcial de \(f\) respecto de la variable \({ x }_{ i }\) y se representa por \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar de dos variables independientes \(f(x,y)=3x+2y\) se pide calcular su derivada direccional en el punto \((1,2)\) según el vector \(v=({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\)

a. Vemos, en primer lugar, que el vector \(v=({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\) es unitario, es decir, \(\parallel v\parallel=1 \)

\(\parallel v\parallel=\parallel ({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\parallel=+\sqrt { { ({ 3 }/{ 5 }) }^{ 2 }+{ (4/{ 5) } }^{ 2 } } =+\sqrt { { 9 }/{ 25+{ 16 }/2{ 5 } } } =+\sqrt { { 25 }/{ 25 } } =1\)

b. Podemos aplicar la definición de derivada direccional, ya que \(\parallel v\parallel=1 \), \({ f }_{ v }^{ ' }(a)=:\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } \)

\(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f((1,2)+h({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }-f(1,2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(1+h({ 3 }/{ 5) },2+h{ (4 }/{ 5) })-f(1,2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 3·(1+{ 3h }/{ 5) }+2·(2+4h/{ 5 })-(3·1+2·2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 3+{ 9h }/{ 5 }+4+8h/{ 5 }-7 }{ h }=\\ =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 17h/{ 5 } }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 17 }{ 5 } =\frac { 17 }{ 5 } \)

 

Función elástica (rígida) en un punto

Descripción: 

Decimos que la función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) es elástica en \(a\in A\) si \(\left| { E }_{ x }f(a) \right| >1\)

Decimos que la función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) es inelastica o rígida en \(a\in A\) si \(\left| { E }_{ x }f(a) \right| <1\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(y=e^{ 0'3x }\), ver si en el punto \(a=3\) es elástica o rígida.

a) Calculamos la elasticidad de la función en el punto.

\(y'=f'(x)=0'3e^{ 0'3x }\) \(f'(3)=0'3e^{ 0'3·3 }=0'3e^{ 0'9}\)

\(f(3)=e^{ 0'3·3 }=e^{ 0'9}\)

Sustituimos en la fórmula: \({ E }_{ x }f(a)=\frac { a }{ f(a) } ·f'(a)\)

\({ E }_{ x }f(3)=\frac { 3 }{ f(3) } ·f'(3)=\frac { 3 }{ e^{ 0'9} } ·0'3e^{ 0'9}=3·0'3=0'9<1\)

Como la elasticidad de la función en el punto es menor que \(1\) (en valor absoluto) la función es rígida.

 

Función derivada elástica

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), si \(\exists { E }_{ x }f(x), \forall x\in A\), definimos la función derivada elástica como aquella función que a cada punto \(x\in A\) le hace corresponder la elasticidad de \( f\) en \(x\); es decir: \({ E }_{ x }f(x)=\frac { x}{ f(x) } ·f'(x)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-+2x\). Calcular su función derivada elástica.

1.- Calculamos la función derivada: \(f'(x)=2x+2=2(x+1)\)

2.- Sustituimos en la fórmula \({ E }_{ x }f(x)=\frac { x}{ f(x) } ·f'(x)\)

\({ E }_{ x }f(x)=\frac { x}{ x^2-+2x } ·2(x+1)=\frac { x·2(x+1)}{ x(x+2) } =\frac{2(x+1)}{x+2}\)

3. La función derivada elástica es: \({ E }_{ x }f(x)=\frac{2(x+1)}{x+2}\)

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