Diferencial

Importante en la teoría marginal y en el cálculo de óptimos

Función escalar de clase \({ C }^{ 1 }\)

Descripción: 

Decimos que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) es de clase \({ C }^{ 1 }\)  en el punto \(a\in A\), si, en un entorno del punto,  existen todas sus derivadas parciales y son continuas en \(a\in A\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Diferencial
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\) definida por \(z=f(x,y)=x^2-2y\) es de clase \({ C }^{ 1 }\)  en el punto \((1,1)\in A\).

1. La función tiene derivadas parciales en todos los puntos de su dominio, calculamos las funciones derivadas parciales.

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=2x\\ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y)=-2\)

2. Las dos funciones derivadas parciales son continuas en el punto \((1,1)\in A\)

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2\quad \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y) } =2; \frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y) }\\ \frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=-2\quad \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y) } =-2;\frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=-2= \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y) }\)

Función escalar diferenciable

Descripción: 

Decimos que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) es diferenciable en el punto \(a\in A\), si existe una aplicación lineal \(L:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) que en un entorno del punto \(a\in A\),  verifica: \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { f(x)-f(a)-L(x-a) }{ \left\| x-a \right\|  } =0\)

La matriz asociada a la aplicación lineal \(L\) es el vector gradiente de \(f\) en \(a\in A\):  \(\nabla { f }(a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Diferencial
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Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\)  definida por \(f(x,y)=x^2+y\) es diferenciable en el punto \((1,1)\in A\).

1. Buscamos la aplicación lineal \(L\), ahora \(x-a=(x-1,y-1)\in { \Re  }^{ 2 }\)

Calculamos las derivadas parciales en el punto  \( (1,1) \in { \Re }^{2}\)

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=2x \quad \frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2\)

\( \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y)=1 \quad \frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=1\)

Finalmente calculamos \(L(x-a)=L(x-1,y-1)=(2,1)·(x-1,y-1)=2(x-1)+(y-1)\).

2. Ahora comprobamos que esta aplicación \(L\), cumple la propiedad exigida:  \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { f(x)-f(a)-L(x-a) }{ \left\| x-a \right\|  } =0\) en \(a=(1,1)\in A\)

\(f(1,1)=1+1=2\)

\(\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { f(x,y)-f(1,1)-L(x-1,y-1) }{ \parallel (x-1,y-1)\parallel } } =\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { x }^{ 2 }+y-2-(2(x-1)+(y-1)) }{ \parallel (x-1,y-1)\parallel } } =\)

\(=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { x }^{ 2 }+y-2-2x+2-y+1 }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 }} } = } \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { x }^{ 2 }-2x+1 }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 }} } = } \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 } } } = } \)

\(=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { x-1 }{ \sqrt { \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { (x-1) }^{ 2 } } +\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ { (x-1) }^{ 2 } } } } } = \frac { 0 }{ \sqrt { 1+1} } =0 \)

Vector Gradiente

Descripción: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\), y \(a\in A\), verificando que \(\exists \frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a);\forall { x }_{ i }\) llamamos vector gradiente de f en el punto a, y lo representamos por \( \nabla f(a)\), el siguiente vector fila: \( \nabla f(a)=(\frac { \partial f(a) }{ \partial { x }_{ 1 } } ,\quad \frac { \partial f(a) }{ \partial { x }_{ 2 } } ,\quad ...\quad \frac { \partial f(a) }{ \partial { x }_{ n } } )\)

 

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Funciones
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