Funciones de varias variables

Se aplican en la representación de fenómenos económicos muy diversos.

Función escalar cóncava (convexa) en un punto

Descripción: 

 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es cóncava en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le t(x)\)

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es convexa en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\ge t(x)\)

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es estrictamente cóncava en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< t(x)\)

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es estrictamente convexa en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\)se verifica \(f(x)> t(x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 } \longrightarrow \Re \), definida por \(z=f(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+3\). probar que es convexa en \((0,0)\).

Se busca el plano tangente \(t(x,y)\)

\(f(0,0)=3\)

\(\triangledown f(x,y)=(2x,2y)\Rightarrow \triangledown f(0,0)=(0,0)\)

 \(t(x,y)=f(0,0)+ \triangledown f(0,0)·(x-0,y-0)=3+(0,0)·(x,y)=3\)

Se comparan \(f(x,y)\) y \(t(x,y)\) en un entorno de \((0,0)\)

\(f(x,y)-t(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+3-3={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\ge 0\), la función es convexa.

Función escalar cóncava (convexa) en un conjunto

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), siendo su dominio  A un conjunto convexo, decimos:

a. f es una función cóncava en A, si se cumple que  \( f(\lambda x+(1-\lambda )y)\ge \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\) \(\quad \forall x,y\in A\) y \( \forall \lambda \in \left[ 0,1 \right]\)

b. f es una función convexa en A, si se cumple que \( f(\lambda x+(1-\lambda )y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\)\(\quad \forall x,y\in A\) y \(\forall \lambda \in \left[ 0,1 \right]\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones

Punto crítico de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), diferenciable, siendo \(A\) un conjunto abierto de \({ \Re  }^{ n }\), decimos que \(a\in A\) es un punto crítico de \(f\) si cumple \(\triangledown f(a)=0\), es decir, el vector gradiente de \( f\) en el punto \(a\in A\) se anula.

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones

Máximo (mínimo) local de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo local o relativo en \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica \(f(x)\le f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo local o relativo en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica\( f(x)\ge f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que\(f\) presenta un máximo local  estricto en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica\(f(x)<f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo local estricto en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica \(f(x)>f(a)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

 

Dada la función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5\). Probar que \(f\) presenta un mínimo local en \(a=(1,2)\in A\).

a. Calculamos la imagen de   \(a=(1,2)\in A ={\Re  }^{ 2 }\).

\(f(1,2)=1^2+2^2-2·1-4·2+5=0\)

b. Calculamos la imagen de  \((x,y)\in \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) siendo \( \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) un entorno del punto \((1,2)\), es decir: \(\beta =\left\{ (x,y)\in \Re ^{ 2 }/d((x,y),(1,2))<\varepsilon   \right\} \)

\(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 =x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0 =f(1,2)\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 }\)

La función \(f\) presenta un mínimo local en el punto  \(a=(1,2)\). Se trata de un mínimo estricto, no existe ningún punto de \((x,y)\in \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) distinto del \((1,2)\), cuya imagen sea \(0\), es decir, \(f(x,y)\neq 0\quad \forall (x,y)\in \beta;(x,y)\neq (1,2)\)

Máximo (mínimo) global de una función escalar

Descripción: 

 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)\le f(a)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)\le f(x)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global  estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)< f(a)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo global estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)> f(x)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5\). Probar que \(f\) presenta un mínimo global en \(a=(1,2)\in A\).

a. Calculamos la imagen de   \(a=(1,2)\in A ={\Re  }^{ 2 }\).

\(f(1,2)=1^2+2^2-2·1-4·2+5=0\)

b. Calculamos la imagen de  \((x,y)\in {\Re  }^{ 2 }\)

\(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 =x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0 =f(1,2)\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 }\)

La función \(f\) presenta un mínimo global en el punto  \(a=(1,2)\in {\Re  }^{ 2 }\). Se trata de un mínimo estricto, no existe ningún punto de \({\Re  }^{ 2 }\) distinto del \((1,2)\), cuya imagen sea \(0\), es decir, \(f(x,y)\neq 0\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 };(x,y)\neq (1,2)\)

 

Función escalar homogénea

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado un número real \(k\in \Re \),siendo  \(x=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },\quad ...\quad ,{ x }_{ n })\), decimos que la función f es una función homogénea de grado \(k\), si \(\forall x\in A\) y \(\forall t>0;\quad t\in \Re \), se cumple \(f(tx)=f(t{ x }_{ 1 },t{ x }_{ 2 },\quad ...\quad ,t{ x }_{ n })=:{ t }^{ k }f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },\quad ...\quad ,{ x }_{ n }))={ t }^{ k }f(x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:{ \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(f(x,y)=\frac { 2{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 } }{ y }\). Es una función homogénea de grado \(2\)

 

\(f(tx,ty)=\frac { 2{ (tx) }^{ 3 }+{ (ty) }^{ 3 } }{ ty } =\frac { 2{ { t }^{ 3 }x }^{ 3 }+{ { t }^{ 3 }y }^{ 3 } }{ ty } =\frac { { t }^{ 3 }(2x^{ 3 }+{ y }^{ 3 }) }{ ty } =\frac { { t }^{ 2 }(2x^{ 3 }+{ y }^{ 3 }) }{ y } ={ t }^{ 2 }f(x,y)\)

Función compuesta de funciones escalares y vectoriales

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \quad x=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }, ... ,{ x }_{ n })\quad y=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }, ... ,{ x }_{ n })\) y una función vectorial \({ g }:{ \Re  }^{ k }\longrightarrow { \Re  }^{ n }\) siendo \( t=({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 }, ...,{ t }_{ k }); \quad x=g(t)\), es decir, \(  { x }_{ i }={ g }_{ i }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 }, ... ,{ t }_{ k })\quad \forall i=1,2,...,n\) verificando que la imagen de g está contenida en el dominio de f; definimos la función escalar compuesta  \(f\circ g\),  que se lee g compuesta con f,  \(f\circ g:{ \Re  }^{ k }\longrightarrow \Re \) de la siguiente manera:\((f\circ g)({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 }, ...,{ t }_{ k })=f\left[ g({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 }, ... ,{ t }_{ k }) \right] =f\left[ { g }_{ 1 }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },...,{ t }_{ k }), { g }_{ 2 }({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 }, ...,{ t }_{ k }), ...,{ g }_{ n }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },...,{ t }_{ k }) \right] \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dadas:  la función escalar  \(f:{ \Re  }^{ 2}\longrightarrow \Re \quad x=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\quad y=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }\) y la función vectorial \({ g }:{ \Re  }^{ 3 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) siendo \( t=({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 });  x=g(t)=({g}_{1}(t),{g}_{2}(t))\), es decir, \(  { x }_{ 1 }={ g }_{ 1}({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 })={ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } + { t }_{ 3 }\) y  \(  { x }_{ 2 }={ g }_{ 2}({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 })={ t }_{ 1 } -{ t }_{ 2 }-{ t }_{ 3 }\). Se pide calcular la función escalar compuesta \(f\circ g\).

La función compuesta  \((f\circ g):{ \Re  }^{ 3 }\longrightarrow { \Re  }\)

se obtiene: 

\(y=(f\circ g)({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 })=f\left[ g({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 },{ t }_{ 3}) \right] =f\left[ { g }_{ 1 }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3}), { g }_{ 2 }({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 },{ t }_{ 3 }) \right] =f({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } + { t }_{ 3}, { t }_{ 1 } -{ t }_{ 2 }-{ t }_{ 3 })\)=

=\(2({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } + { t }_{ 3}) -({ t }_{ 1 } -{ t }_{ 2 }-{ t }_{ 3 })={ t }_{ 1 }+3{ t }_{ 2 } + 3{ t }_{ 3}\)

Matriz Hessiana de una función escalar

Descripción: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) si en el punto \(a\in A\) existen las derivadas parciales segundas, definimos la matriz hessiana de \(f\) en el punto  \(a\in A\) y la representamos por \(Hf(a)\), la matriz cuadrada \(n\times n\), donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente derivada parcial. primera, es decir:

 

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones

Función derivada parcial segunda

Descripción: 

Se llaman derivadas parciales segundas de una función a las derivadas parciales de las funciones derivadas parciales (primeras). Se representan en la siguiente forma:

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }_{ i }\partial { x }_{ j } } (x)=:\frac { \partial { (\frac { \partial { f } }{ \partial { x }_{ i } } (x)) } }{ \partial { x }_{ j } } \), la derivada parcial segunda de \(f\) respecto de \({ x }_{ i }\) y de \({ x }_{ j }\) es la que se obtiene haciendo la derivada parcial primera de la función derivada parcial primera \(\frac { \partial { f } }{ \partial { x }_{ i } } (x)\) respecto de  \({ x }_{ j }\).

Si hacemos la derivada parcial respecto de la misma variable dos veces, hablamos de la derivada parcial segunda respecto de \({ x }_{ i }\) dos veces, la representamos:

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x }_{ i } \right)  }^{ 2 } } (x)=:\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial { x }_{ i }\partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 3 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y,z) = x^2+3xy-xz\). Calcular las derivadas parciales segundas: \(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }\partial {y } } (x,y,z)\); \(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x } \right)  }^{ 2 } } (x,y,z)\)

Primero calculamos las funciones derivadas parciales primeras

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } (x,y,z)=2x+3y-z\)

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { y } } (x,y,z)=3x\)

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { z } } (x,y,z)=-x\)

En segundo lugar derivamos la función derivada parcial primera respecto de \(x\) respectos de sus variables \(y\) y \(x\)

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }\partial {y } } (x,y,z)=\frac{ {\partial}{ \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } } }{\partial { y } } (x,y,z)=3\)

 

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x } \right)  }^{ 2 } } (x,y,z)=\frac{ {\partial}{ \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } } }{\partial { x } } (x,y,z)=2\)

Función derivada parcial de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\), definimos la función derivada parcial primera de \(f \) respecto de la variable \({ x }_{ i }\), como función escalar que a cada punto  \(x\in A\) le hace correspopnder la derivada parcial de \(f\) respecto de la variable \({ x }_{ i }\)  en ese punto:  \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definida por \(f(x,y)=x^2+3xy\), calcular la función derivada parcial de \(f\) respecto a \(x\), \(\frac { \partial f }{ \partial { x } } (x,y)\)

La función derivada parcial se obtiene derivando \(f(x,y)\) respecto de la variabla \(x\), considerando la otra variable (la \(y\)) como constante:

\(\frac { \partial f }{ \partial { x } } (x,y)=2x+3y\)

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