Funciones de varias variables

Se aplican en la representación de fenómenos económicos muy diversos.

Función escalar de clase \({ C }^{ 1 }\)

Descripción: 

Decimos que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) es de clase \({ C }^{ 1 }\)  en el punto \(a\in A\), si, en un entorno del punto,  existen todas sus derivadas parciales y son continuas en \(a\in A\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Diferencial
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\) definida por \(z=f(x,y)=x^2-2y\) es de clase \({ C }^{ 1 }\)  en el punto \((1,1)\in A\).

1. La función tiene derivadas parciales en todos los puntos de su dominio, calculamos las funciones derivadas parciales.

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=2x\\ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y)=-2\)

2. Las dos funciones derivadas parciales son continuas en el punto \((1,1)\in A\)

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2\quad \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y) } =2; \frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y) }\\ \frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=-2\quad \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y) } =-2;\frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=-2= \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y) }\)

Función escalar diferenciable

Descripción: 

Decimos que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) es diferenciable en el punto \(a\in A\), si existe una aplicación lineal \(L:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) que en un entorno del punto \(a\in A\),  verifica: \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { f(x)-f(a)-L(x-a) }{ \left\| x-a \right\|  } =0\)

La matriz asociada a la aplicación lineal \(L\) es el vector gradiente de \(f\) en \(a\in A\):  \(\nabla { f }(a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Diferencial
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\)  definida por \(f(x,y)=x^2+y\) es diferenciable en el punto \((1,1)\in A\).

1. Buscamos la aplicación lineal \(L\), ahora \(x-a=(x-1,y-1)\in { \Re  }^{ 2 }\)

Calculamos las derivadas parciales en el punto  \( (1,1) \in { \Re }^{2}\)

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=2x \quad \frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2\)

\( \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y)=1 \quad \frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=1\)

Finalmente calculamos \(L(x-a)=L(x-1,y-1)=(2,1)·(x-1,y-1)=2(x-1)+(y-1)\).

2. Ahora comprobamos que esta aplicación \(L\), cumple la propiedad exigida:  \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { f(x)-f(a)-L(x-a) }{ \left\| x-a \right\|  } =0\) en \(a=(1,1)\in A\)

\(f(1,1)=1+1=2\)

\(\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { f(x,y)-f(1,1)-L(x-1,y-1) }{ \parallel (x-1,y-1)\parallel } } =\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { x }^{ 2 }+y-2-(2(x-1)+(y-1)) }{ \parallel (x-1,y-1)\parallel } } =\)

\(=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { x }^{ 2 }+y-2-2x+2-y+1 }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 }} } = } \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { x }^{ 2 }-2x+1 }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 }} } = } \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ \sqrt { { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 } } } = } \)

\(=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { x-1 }{ \sqrt { \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { (x-1) }^{ 2 } } +\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ { (x-1) }^{ 2 } } } } } = \frac { 0 }{ \sqrt { 1+1} } =0 \)

Matriz jacobiana de una función vectorial

Descripción: 

Dada una función vectorial \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\), donde \(\left( { f }_{ 1 },{ f }_{ 2 },\quad ...\quad ,{ f }_{ m } \right) \) son las funciones escalares componentes de \(f\). Si \(\exists ∇f_{ i }(a)\forall i=1,2,\quad ...,\quad m\). Definimos la matriz Jacobiana de \(f\) en el punto \(a\in A\), y la representamos por \(Jf(a)\), mediante la matriz \(m\times n\) donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente función componente, es decir:

 

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Derivada
Descriptores: 
Funciones

Función derivada elástica parcial. Función elástica y función rígida

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), siendo su dominio A un conjunto abierto. Si existe la \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)\) en todos los puntos del dominio.

Definimos la función derivada elástica parcial de la función \(f\) respecto a \( { x }_{ i } \) por : \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)=\frac { { x }_{ i } }{ f(x) } .\frac { \partial f(x) }{ \partial { x }_{ i } } \)

Decimos que la función f es elástica respecto de \( { x }_{ i }\) en el punto  \(a\in A\) si verifica \(\left| { E }_{ { x }_{ i } }f(a) \right| >1\)

Decimos que la función f es rígida respecto de \( { x }_{ i }\) en el punto  \(a\in A\) si verifica \(\left| { E }_{ { x }_{ i } }f(a) \right| <1\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) = x^2+y\).   a) Se desea conocer la función derivada elástica respecto de \(x\).  

b) Decir si la función es elástica o rígida en el punto \((2,1)\)

a) Aplicamos la fórmula: \({ E }_{ { x } }f(x,y)=\frac { { x } }{ f(x,y) } .\frac { \partial f(x,y) }{ \partial { x } } \)

Calculamos la función derivada parcial: \(\frac { \partial f(x,y) }{ \partial { x } } =2x\)

Sustituimos en la fórmula:  \({ E }_{ { x } }f(x,y)=\frac { { x } }{x^2+y } . {2x }=\frac{2x^2}{x^2+y}\)

b) Sustituimos el punto \((2,1)\) en la derivada elástica obtenida en el apartado anterior.

\({ E }_{ { x } }f(2,1)=\frac { { 2 } }{5} .4 =\frac { { 8 } }{5}>1\): Es elástica

Función derivada elástica de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), donde\( A\) es abierto y \(f(x)\neq 0\), si existe la función derivada parcial de \( f\) respecto de \({ x }_{ i }\), \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\), definimos la función derivada elástica de \(f\) respecto de  \({ x }_{ i }\) en la forma: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)=:\frac { x_{ i } }{ f(x) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) =x^2+y\), calcular la función derivada elástica de \(f\) respecto de \(x\).

1.- Calculamos la función derivada parcial:

\(\frac { \partial f }{ \partial { x } } (x,y)=2x\)

2.- Sustituimos en la fórmula anterior: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(x)=:\frac { x_{ i } }{ f(x) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (x)\)

\({ E }_{ { x } }f(x,y)=:\frac { x }{ f(x,y) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }} (x,y)=\frac { x }{ x^2+y } ·2x=\frac { 2x^2 }{ x^2+y}\)

Elasticidad o Derivada elástica de una función escalar en un punto

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), siendo su dominio A un conjunto abierto. Si \(a\in A\) con \(f(a)\neq 0\) y si \(\exists \frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\), definimos la elasticidad o derivada elástica de f respecto de \({ x }_{ i }\)en el punto \(a\in A\) en la forma:

\({ E }_{ { x }_{ i } }f(a)=:\underset { { x }_{ i }\rightarrow a_{ i } }{ lim } \frac { \frac { f(x)-f(a) }{ f(a) }  }{ \frac { { x }_{ i }-a_{ i } }{ a_{ i } }  } =\frac { a_{ i } }{ f(a) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) = x^2+y\), se desea conocer la elasticidad de \(f \) respecto a \(x\) en el punto \((2,1)\)

Aplicamos la fórmula: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(a)=\frac { a_{ i } }{ f(a) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\) haciendo \(a=(2,1)\), \( { x }_{ i }=x\), \( a_{ i }=2\)

1.- Calculamos la imagen del punto \(f(2,1) = 2^2+1=5\neq 0\)

2.- Calculamos la derivada parcial de \(f\) respecto de \(x\) en el punto \((2,1)\)

La función derivada parcial es: \(\frac { \partial f }{ \partial { x } }(x,y)=2x\)

La derivada parcial en el punto es: \(\frac { \partial f }{ \partial { x }}(2,1)=2·2=4\)

Sustituimos en la fórmula: \({ E }_{ { x } }f(2,1)=\frac { 2 }{ f(2,1) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x } } (2,1)=\frac { 2 }{ 5 } ·4 =\frac { 8 }{ 5 }\)

Derivada direccional de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) y dado un punto del dominio \(a\in A\). Dado un vector unitario \(v\in { \Re  }^{ n } \quad \left\| v \right\| =1\), la recta definida por la dirección del vector \(v\) que pasa por el punto \(a\in A\) es \(x=a+hv\), con \(h\in \Re\). Definimos la derivada direccional de f en el punto \(a\in A\) como el limite, si existe, siguiente:

\({ f }_{ v }^{ ' }(a)=:\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } \)

Si la recta definida por el vector \( v\) es uno de los ejes de coordenadas \({ x }_{ i }\), la derivada direccional se llama derivada parcial de \(f\) respecto de la variable \({ x }_{ i }\) y se representa por \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar de dos variables independientes \(f(x,y)=3x+2y\) se pide calcular su derivada direccional en el punto \((1,2)\) según el vector \(v=({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\)

a. Vemos, en primer lugar, que el vector \(v=({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\) es unitario, es decir, \(\parallel v\parallel=1 \)

\(\parallel v\parallel=\parallel ({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\parallel=+\sqrt { { ({ 3 }/{ 5 }) }^{ 2 }+{ (4/{ 5) } }^{ 2 } } =+\sqrt { { 9 }/{ 25+{ 16 }/2{ 5 } } } =+\sqrt { { 25 }/{ 25 } } =1\)

b. Podemos aplicar la definición de derivada direccional, ya que \(\parallel v\parallel=1 \), \({ f }_{ v }^{ ' }(a)=:\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } \)

\(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f((1,2)+h({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }-f(1,2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(1+h({ 3 }/{ 5) },2+h{ (4 }/{ 5) })-f(1,2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 3·(1+{ 3h }/{ 5) }+2·(2+4h/{ 5 })-(3·1+2·2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 3+{ 9h }/{ 5 }+4+8h/{ 5 }-7 }{ h }=\\ =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 17h/{ 5 } }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 17 }{ 5 } =\frac { 17 }{ 5 } \)

 

Límite direccional (o límite según trayectorias rectilíneas) de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar de dos variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definimos el límite de \(f\) en el punto \((a,b)\) según la dirección de la recta que pasa por el punto  \((a,b)\)  y tiene la pendiente \(m\), como sigue: \(\underset { (x,y)\rightarrow (a,b)\\ y-b=m(x-a) }{ lim } f(x,y)=: \underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,b+m(x-a))\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar de dos variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definida por \(f(x,y)=\frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x } \) buscar su  límite según la dirección de la recta paralela a la bisetríz del primer cuadrante en el punto \((1,2)\).

a. La ecuación de la bisetríz del primer cuadrante es \(y=x\), y su pendiente es \(m=1\). Así la ecuación de la recta paralela a la bisetríz que pasa por el punto dado es: \(y-2= m(x-1)=x-1\), es decir, \(y=x+1\)

b. Aplicamos la formúla anterior.  \(\underset { (x,y)\rightarrow (a,b)\\ y-b=m(x-a) }{ lim } f(x,y) =: \underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x, b+m(x-a))\)

 \(\underset { (x,y)\rightarrow (1,2)\\ y-2=x-1 }{ lim } \frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x }) = \underset { x\rightarrow 1 }{ lim } \frac { 4{ x }^{ 2 }-4x(x+1)+{ (x+1) }^{ 2 } }{ 2x }= \frac { 4.{ 1}^{ 2 }-4.1.(1+1)+{ (1+1) }^{ 2 } }{ 2.1 }=0\)

 

Límites reiterados de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar de dos variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), los límites reiterados de la función f (x,y) en el punto (a,b) son:

\(\underset { y\rightarrow b }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,y))\) y \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } (\underset { y\rightarrow b }{ lim } f(x,y))\)

 

Dada una función escalar de tres variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 3}\longrightarrow { \Re  }\), los límites reiterados de la función f (x,y,z) en el punto (a,b,c) son:

\(\underset { z\rightarrow c }{ lim }(\underset { y\rightarrow b }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,y,z)))\);  \(\underset { y\rightarrow b }{ lim }(\underset { z\rightarrow c }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,y,z)))\);  \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } (\underset { z\rightarrow c }{ lim }(\underset { y\rightarrow b }{ lim } f(x,y,z)))\); \(\underset { z\rightarrow c }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim }(\underset { y\rightarrow b }{ lim } f(x,y,z)))\);  \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } (\underset { y\rightarrow b }{ lim }(\underset { z\rightarrow c }{ lim } f(x,y,z)))\); y \(\underset { y\rightarrow b }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim }(\underset { z\rightarrow c }{ lim } f(x,y,z)))\)

 

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar de dos variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definida por \(f(x,y)=\frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x } \), encontrar los límites reiterados en el punto \(a=(1,2)\).

Aplicamos la definición de límites reiterados: \(\underset { y\rightarrow b }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,y))\) y \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } (\underset { y\rightarrow b }{ lim } f(x,y))\).

1. \(\underset { y\rightarrow b }{ lim } (\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,y))=\underset { y\rightarrow 2 }{ lim } (\underset { x\rightarrow 1 }{ lim } \frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x })=\underset { y\rightarrow 2 }{ lim } \frac { 4.{ 1 }^{ 2 }-4.1.y+{ y }^{ 2 } }{ 2.1 }=\underset { y\rightarrow 2 }{ lim } \frac { 4-4y+{ y }^{ 2 } }{ 2 }=\frac { 4-4.2+{ 2 }^{ 2 } }{ 2 }=0\)

2. \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } (\underset { y\rightarrow b }{ lim } f(x,y))=\underset { x\rightarrow 1 }{ lim } (\underset { y\rightarrow 2 }{ lim } \frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x })=\underset { x\rightarrow 1 }{ lim }\frac { 4{ x }^{ 2 }-4x.2+{ 2 }^{ 2 } }{ 2x }=\underset { x\rightarrow 1 }{ lim }\frac { 4{ x }^{ 2 }-8x+4 }{ 2x }=\frac { 4.{ 1 }^{ 2 }-8.1+4 }{ 2.1 }=0\)

Función compuesta de funciones vectoriales

Descripción: 

Dadas las funciones vectoriales \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\) y \( g:B\subseteq { \Re  }^{ m }\longrightarrow { \Re  }^{ p }\) y cumpliendo que \( f(A)\subseteq B\), se define la función compuesta de f con g, y se representa por \(g\circ f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { { \Re  }^{ p } }\) en la forma: \((g\circ f)({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })=g\left[ f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right] \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dadas las funciones vectoriales: \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 3 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) por \({f}_{1}({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })={ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }, {f}_{2}({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })={ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }\) y  \( g:B\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) por  \({g}_{1}({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })=2{ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 }, {g}_{2}({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })={ y }_{ 1 }-2{ y }_{ 2 }\). Buscar la función vectorial \(f\) compuesta con \(g\), \(g\circ f\)

Se hace:

\((g\circ f)({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })=g\left[ f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 }) \right] =g({f}_{1}({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 }),{f}_{2}({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })=g({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 },{ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 })\)=

=\((2({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 })-({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }), ({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 })-2({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }))=({ x }_{ 1 }+3{ x }_{ 2 }+3{ x }_{ 3 }, -{ x }_{ 1 }+3{ x }_{ 2 }+3{ x }_{ 3 })\)

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