Funciones de varias variables

Se aplican en la representación de fenómenos económicos muy diversos.

Función vectorial

Descripción: 

Una función vectorial es una aplicación \(\underset { ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\longrightarrow ({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },...,y_{ m })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) }{ f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m } } \), en la que \(A\) es el dominio de la función, es decir:

\(A = Dom(f)=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in { \Re  }^{ n }/\exists f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right\} \)

Llamamos imagen de f, \(Im(f)\), al conjunto de los elementos de \({ \Re  }^{ m }\) que estan en correspondencia con algún elemento del dominio, es decir:

\(Im(f)=\left\{ (y_{ 1 },y_{ 2 },...,y_{ m })\in { \Re  }^{ m }/\quad \exists ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in A\subseteq { \Re  }^{ n }\quad verificando\quad (y_{ 1 },y_{ 2 },...,y_{ m })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right\} \)

Las funciones escalares dadas por:  \(y_{ 1 }=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\), \(y_{ 2 }=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\) , ...,  \(y_{ m }=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\) se llaman funciones componentes de la función vectorial f

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función vectorial es una aplicación \(\underset { ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\longrightarrow ({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },y_{ 3 })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }) }{ f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 3} } \) por: \(({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },y_{ 3 })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }, { x^2 }_{ 1 }/{ x }_{ 2 },ln({ x }_{ 1 }.{ x }_{ 2 }))\). Dar su dominio y sus funciones componentes.

Las funciones componentes son:

\({ y }_{ 1 }={ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }\); su dominio es:  \(dom({ y }_{ 1 })={ \Re  }^{ 2 }\)

\({ y }_{ 2 }={ x^2 }_{ 1 }/{ x }_{ 2 }\); su dominio es: \( dom({ y }_{ 2 })={ \Re  }^{ 2 }\setminus \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } / { x }_{ 2 }=0 \right\}\)

\({y}_{ 3 }=ln({ x }_{ 1 }.{ x }_{ 2 })\); su dominio es: \(dom({ y }_{ 3})=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }·{ x }_{ 2 }>0 \right\}\)

El dominio de la función vectorial \(f\) es la intersección de los dominios de sus funciones componentes.

 \(Domf=dom({ y }_{ 1 })\cap dom{ (y }_{ 2 })\cap dom({y }_{ 3 })={ \Re  }^{ 2 }\cap { \Re  }^{ 2 }\setminus \left\{ ({ x }_{ 1 },0),\quad \forall { x }_{ 1 }\in \Re  \right\} \cap \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }·{ x }_{ 2 }>0 \right\} =\)

\(=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }·{ x }_{ 2 }>0 \right\} =\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }>0\quad y\quad { x }_{ 2 }>0 \right\} \cup \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }<0\quad y\quad { x }_{ 2 }<0 \right\} \)

El \(Dom(f)\) es la unión del primer y tercer cuadrante de \({ \Re  }^{ 2 }\) excluyendo los ejes de coordenadas.

Curva de nivel

Descripción: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) y \(k\in \Re \), la curva de nivel k de la función \(f\), la representamos por \({ C }_{ k }(f)\) y se define por \({ C }_{ k }(f)=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in A/f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=k  \right\} \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f(x,y)=x^{ 2 }+y^{ 2 }\) de dos variables, calcular la curva de nivel 1 \((k=1)\).

Solución:

\(C_{ 1 }(f)=\left\{ (x,y)∈R^{ 2 }∣x^{ 2 }+y^{ 2 }=1\right\} \), esta curva de nivel es la circunferencia de centro (0,0) y radio \(r=1\)

 

Función escalar o función real de varias variables

Descripción: 

Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable multiple) es una aplicación que representamos por \(\underset { \quad \quad\quad({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\longrightarrow z=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) }{ f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re  } \), donde el conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) se llama dominio de \(f\), se representa por \(A=Dom(f)=Domf\).

El dominio de \(f\), es el conjunto de los elementos de \({ \Re  }^{ n }\) que tienen imagen mediante \(f\), es decir:  \(A=Domf=\left\{( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in { \Re  }^{ n }/\exists f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right\} \)

Llamamos imagen de la función \(f\) al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa por\(Im(f)\).

\(Im(f) = \left\{ z\in \Re / \exists ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in A\subseteq { \Re  }^{ n } verificando\quad z=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right\} \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
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Funciones
Ejemplo: 

La función \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(f(x,y)=+\sqrt { { x }^{ 2 }y } \). Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.

Dominio de la función.

\(\exists f(x,y)\Leftrightarrow { x }^{ 2 }y\ge 0\Leftrightarrow y\ge 0\Rightarrow Dom(f)=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/y\ge 0 \right\} \)

Imagen de la función.

\({ x }^{ 2 }y\ge 0\Rightarrow +\sqrt { { x }^{ 2 }y } \ge 0 \Rightarrow Im(f)=[0,+\infty [\subset \Re  \)

Vector Gradiente

Descripción: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\), y \(a\in A\), verificando que \(\exists \frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a);\forall { x }_{ i }\) llamamos vector gradiente de f en el punto a, y lo representamos por \( \nabla f(a)\), el siguiente vector fila: \( \nabla f(a)=(\frac { \partial f(a) }{ \partial { x }_{ 1 } } ,\quad \frac { \partial f(a) }{ \partial { x }_{ 2 } } ,\quad ...\quad \frac { \partial f(a) }{ \partial { x }_{ n } } )\)

 

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Diferencial
Descriptores: 
Funciones

Función escalar continua en un punto

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) decimos que es continua en un punto \(a\in A\) si se cumple \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x) = f(a)\)

También se puede escribir \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x)=f(a)\Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0\quad /\quad \forall x\in A,\quad x\neq a\quad \left\| x-a \right\| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-f(a) \right| <\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\) por \(z=f(x,y)=x+y\). Probar que es continua en el punto\( (0,0)\)

1.- Calculamos la imagen del punto: \(f(0,0)=0+0=0\)

2.-  Calculamos el límite en el punto:\( \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ f(x,y) } =\lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ (x+y) } =0\)

3.- Como la imagen y el límite coinciden, la función es continua en el punto

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