Funciones reales de una variable

Básico para poder entender el lenguaje matemático. Se utilizan en la elaboración de modelos sencillos de economía y de empresa.

Límites laterales en funciones reales de variable real

Descripción: 

Límite lateral por la derecha

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el límite  de la función f en el punto \(a\in \Re \) por la derecha es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow { a }^{ + } }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow { a }^{ + } }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad x>a \quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Límite lateral por la izquierda

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el límite de la función f en el punto \(a\in \Re \) por la izquierda es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow { a }^{ - } }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow { a }^{ - } }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad x<a \quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Límite
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real definida por  \(f(x)= 2x+1\quad si\quad x\ge 1\quad  y\quad f(x)= { x }^{ 2 }+2\quad si\quad x<1 \). Calcular los límites laterales en el punto \(a=1\).

Límite lateral por la derecha

\(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ lim(2x+1) }=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim(2x+1) }=2·1+1=3\)

Límite lateral por la izquierda

\(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }={ 1 }^{ 2 }+2=3\)

 

 

Punto crítico de una función real de variable real

Descripción: 

Dada una función real de variable real, \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \), diferenciable (derivable), siendo \(A\) un conjunto abierto de \({ \Re  }\), decimos que \(a\in A\) es un punto crítico de \(f\) si cumple \( f'(a)=0\), es decir, la derivada de \(f\) en el punto \(a\in A\) se anula.

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real, \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \), definida por \(y=f(x)=2x^2-3\). Ver que tiene un punto crítico en \(a=0\)

Calculamos la función derivada de \(f\) y su valor en \(a=0\)

\(y'=f'(x)=2x\Rightarrow f'(0)=2·0=0\)

El punto \(a=0\) es un punto crítico

Función cóncava (convexa) en un punto.

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangente a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es cóncava en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le t(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangenta a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es convexa en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\ge t(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangente a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es cóncava estricta en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< t(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangenta a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es convexa estricta en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)> t(x)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función \(y=x^2\) es estrictamente convexa en el punto \(a=1\)

1.- Calculamos la ecuación de la recta tangente de la función en el punto \(a=1\), aplicando la fórmula \(t(x)=f(a)+f'(a).(x-a)\)

Primero calculamos: \(f(1)=1^2=1\). En segundo lugar calculamos la derivada: \(f'(x)=2x\) y sustituimos en el punto \(a=1\), \(f'(1)=2\). Finalmente sustituimos en la fórmula anterior. \(t(x)=f(1)+f'(1).(x-1)=1+2(x-1)=2x-1\)

2.- Calculamos el valor de la tangente y de la función en un punto próximo a \(a=1\), para ello tomamos \(x=1+\theta \varepsilon , con \theta \rightarrow 0\)

\(f(1+\theta \varepsilon)=(1+\theta \varepsilon)^2=1+2\theta \varepsilon+(\theta \varepsilon)^2\)

\(t(1+\theta \varepsilon)=1+2(1+\theta \varepsilon-1)=1+2\theta \varepsilon\)

3.- Calculamos la diferencia entre la función y la tangente en ese punto

\(f(1+\theta \varepsilon)-t(1+\theta \varepsilon)=1+2\theta \varepsilon+(\theta \varepsilon)^2-(1+2\theta \varepsilon)=(\theta \varepsilon)^2>0\)

Como es estrictamente mayor que cero, la función es estrictamente convexa en el punto.

Máximo (mínimo) local de una función real de variable real

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo local o relativo en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le f(a)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo local o relativo en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(a)\ge f(x)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un máximo local estricto en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< f(a)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo local estricto en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(a)> f(x)\).

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), definida por \(f(x)=1-x \quad si  0\le x\le 1\) y \( f(x)=2-x\quad \forall x>1\), ver que en el punto \(x=1\) la función tiene un mínimo local y en \(x=0\) presenta un máximo local.

a. Mínimo local.

La imagen de \(1\) es \(f(1)=0\)

Si \(0<x<1\Rightarrow f(x)>0=f(1)\) y si \( 1<x<2\Rightarrow f(x)>0=f(1)\)

Si tomamos valores de \(x\) próximos a \(1\),es suficiente considerar  \(0<x<2, x\neq 1\) se cumple la definición de mínimo local (es un mínimo estricto)

b. Máximo local.

La imagen del punto es: \(f(0)=1\)

Si \(0<x<1\Rightarrow f(x)<1=f(0)\).

Si tomamos valores de \(x\) próximos a \(0\),es suficiente considerar  \(0<x<1, x\neq 0\) se cumple la definición de máximo local (es un máximo estricto)

 

Máximo (mínimo) global de una función real de variable real.

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)\le f(a)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)\le f(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)< f(a)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)> f(x)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(y=f(x)=x, \forall x\in [0,1]\), es decir, el dominio de la función es \(A=dom(f)=[0,1]\), el intervalo cerrado de extremos \(0\) y \(1\)

Comprobar que la función presenta un máximo global en \(x=1\) y un mínimo global en \(x=0\)

a. Máximo global

\(f(1)=1\ge x=f(x),\forall x\) dado que \(  x\in [0,1]\Rightarrow 0\le x\le 1\)

b. Mínimo global

\(f(0)=0 \le x=f(x),\forall x\) dado que \(  x\in [0,1]\Rightarrow 0\le x\le 1\)

Función creciente (decreciente) en un punto

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función creciente  en el punto \(a\in A\), si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)\ge f(a)\quad f(a-h)\le f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)\le f(a)\quad f(a-h)\ge f(a)]\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función decreciente  en el punto \(a\in A\), si

si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)\le f(a)\quad f(a-h)\ge f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)\ge f(a)\quad f(a-h)\le f(a)]\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función estrictamente creciente  en el punto \(a\in A\), si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)> f(a)\quad f(a-h)< f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)< f(a)\quad f(a-h)> f(a)]\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función  estrictamente decreciente  en el punto \(a\in A\), si

si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)< f(a)\quad f(a-h)> f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)> f(a)\quad f(a-h)< f(a)]\)

 

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-4x+2\) ver si es creciente o decreciente en el punto \(a=3\)

1. Calculamos la imagen de \(a=3\) y de \(x=3+h\)

\(f(3)= 3^2-4·3+2=-1\); \(f(3+h)=(3+h)^2-4(3+h)+2=9+6h+h^2-12-4h+2=-1+h^2+2h\)

2. Comparamos las imagenes, haciendo la diferencia:  \(f(3+h)-f(3) =h^2+2h\).

Si \(h>0 \Rightarrow (f(3+h)-f(3)>0 \Rightarrow (f(3+h)>f(3)\)

Si \(h<0 \Rightarrow (f(3+h)-f(3)<0\) si se tiene que \(h\rightarrow 0\) \((h<2)\), \(\Rightarrow (f(3+h)<f(3)\)

3. Repetimos el proceso con la imagen de \(x=3-h\) y comparamos con \(f(3)\)

\(f(3-h)=(3-h)^2-4(3-h)+2=9-6h+h^2-12+4h+2=-1-2h+h^2\)

\(f(3-h)-f(3)=h^2-2h\)

Si \(h>0 \Rightarrow (f(3-h)-f(3)<0\) si se tiene que \(h\rightarrow 0\) \((h<2)\) \(\Rightarrow (f(3-h)<f(3)\)

Si \(h<0 \Rightarrow (f(3-h)-f(3)>0\) \( \Rightarrow (f(3-h)>f(3)\)

Conclusión, juntando todos los resultados vemos que la función es estrictamente creciente en \(a=3\)

Función decreciente en un conjunto

Descripción: 

 

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), decimos que \(f\) es decreciente si \(\forall x,y\in A, x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)\).

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), decimos que \(f\)es estrictamente decreciente si \(\forall x,y\in A,x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\).

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

 

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-4x+2\) probar que es decreciente en el conjunto \(A=]-\infty, 2[\).

Tomamos \(x<y\) y calculamos sus imagenes:   \(f(x)=x^2-4x+2\);  \(f(y)=y^2-4y+2\).

Ahora debemos comparar dichas imagenes \(f(y)-f(x)\)

\(f(y)-f(x)=y^2-4y+2-(x^2-4x+2)=y^2-x^2-4y+4x=(y+x)(y-x)-4(y-x)=(y-x)(y+x-4)\)

Por hipótesis \(y>x \Rightarrow y-x>0\) y \( x<2\Rightarrow x-2<0\) y \( y<2\Rightarrow y-2<0\), es decir: \((y+x-4)<0\) y   \((y-x)(y+x-4)<0\)

La función es estrictamente decreciente en el conjunto  \(A=]-\infty , 2[\)

Función creciente en un conjunto

Descripción: 

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), decimos que \(f\) es creciente en \(A\) si \(\forall x,y\in A, x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)\).

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), decimos que \(f\) es estrictamente creciente si \(\forall x,y\in A, x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\).

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-4x+2\) probar que es creciente en el conjunto \(A=]2,+\infty [\).

Tomamos \(x<y\) y calculamos sus imagenes:   \(f(x)=x^2-4x+2\);  \(f(y)=y^2-4y+2\).

Ahora debemos comparar dichas imagenes \(f(y)-f(x)\)

\(f(y)-f(x)=y^2-4y+2-(x^2-4x+2)=y^2-x^2-4y+4x=(y+x)(y-x)-4(y-x)=(y-x)(y+x-4)\)

Por hipótesis \(y>x \Rightarrow y-x>0\) y \( x>2\Rightarrow x-2>0\) y \( y>2\Rightarrow y-2>0\), es decir: \((y-x)(y+x-4)>0\)

La función es estrictamente creciente en el conjunto  \(A=]2,+\infty [\)

Función elástica (rígida) en un punto

Descripción: 

Decimos que la función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) es elástica en \(a\in A\) si \(\left| { E }_{ x }f(a) \right| >1\)

Decimos que la función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) es inelastica o rígida en \(a\in A\) si \(\left| { E }_{ x }f(a) \right| <1\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(y=e^{ 0'3x }\), ver si en el punto \(a=3\) es elástica o rígida.

a) Calculamos la elasticidad de la función en el punto.

\(y'=f'(x)=0'3e^{ 0'3x }\) \(f'(3)=0'3e^{ 0'3·3 }=0'3e^{ 0'9}\)

\(f(3)=e^{ 0'3·3 }=e^{ 0'9}\)

Sustituimos en la fórmula: \({ E }_{ x }f(a)=\frac { a }{ f(a) } ·f'(a)\)

\({ E }_{ x }f(3)=\frac { 3 }{ f(3) } ·f'(3)=\frac { 3 }{ e^{ 0'9} } ·0'3e^{ 0'9}=3·0'3=0'9<1\)

Como la elasticidad de la función en el punto es menor que \(1\) (en valor absoluto) la función es rígida.

 

Función derivada elástica

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), si \(\exists { E }_{ x }f(x), \forall x\in A\), definimos la función derivada elástica como aquella función que a cada punto \(x\in A\) le hace corresponder la elasticidad de \( f\) en \(x\); es decir: \({ E }_{ x }f(x)=\frac { x}{ f(x) } ·f'(x)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-+2x\). Calcular su función derivada elástica.

1.- Calculamos la función derivada: \(f'(x)=2x+2=2(x+1)\)

2.- Sustituimos en la fórmula \({ E }_{ x }f(x)=\frac { x}{ f(x) } ·f'(x)\)

\({ E }_{ x }f(x)=\frac { x}{ x^2-+2x } ·2(x+1)=\frac { x·2(x+1)}{ x(x+2) } =\frac{2(x+1)}{x+2}\)

3. La función derivada elástica es: \({ E }_{ x }f(x)=\frac{2(x+1)}{x+2}\)

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