Funciones reales de una variable

Básico para poder entender el lenguaje matemático. Se utilizan en la elaboración de modelos sencillos de economía y de empresa.

Elasticidad de una función en un punto

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re ,\) derivable y \(a\in A\), y \(f(a)\neq 0\), definimos la elasticidad o derivada elástica de la función \(f\) en \(a\), y lo representamos por \({ E }_{ x }f(a)\) al valor:

\({ E }_{ x }f(a)\quad =:\underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { \frac { f(x)-f(a) }{ f(a) }  }{ \frac { x-a }{ a }  } =\frac { a }{ f(a) } ·f'(a)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=3x^2+3\), Calcular su derivada elástica en el punto \(a=2\)

\({ E }_{ x }f(a)\quad =\frac { a }{ f(a) } ·f'(a)\)

a) Calculamos la imagen de la función en el punto

\(f(2)=3·2^2+3=3·4+3=16\)

b) Calculamos la derivada de la función en el punto.

La función derivada de la dada es: \(f'(x)=6x\)

\(f'(2) =12\)

c)  Sustituimos en la fórmula: \({ E }_{ x }f(a)=\frac { a }{ f(a) } ·f'(a)=\frac { 2 }{ 16 } ·12 =\frac{ 3 }{2 }\)

Derivada segunda

Descripción: 

Dada una función derivable \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), si su función derivada \(f':B\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), es una función derivable, la función derivada de \(f'\) la llamamos derivada segunda de \(f\). La representamos por\( f''(x) = (f'(x))'\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Calcular la derivada segunda de la función \(y={ x }^{ 3 }-x\)

Calculamos la derivada primera de la función \(y'=3{ x }^{ 2 }-1\),

derivando esta función obtenemos la derivada segunda: \(y''=(y')'=6x\)

Función diferenciable

Descripción: 

Dada una función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) decimos que es diferenciable  en un punto \(a\) si existe \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) verificando que:

\(\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x)-t(x) }{ \parallel x-a\parallel } }=0\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Comprobar que la función \(y = f(x) = x^2+3\) es diferenciable en \(a=1\).

Primero calculamos: \(f(1)=4\), y  la función derivada \(f'(x)=2x\) y sustituimos \(x\) por \(1\); \(f'(1)=2\)

Después buscamos la recta tangente en \(a=1\): \(t(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=4+2(x-1)=2x+2=2(x+1)\)

Finalmente calculamos el limite cuando \(x\rightarrow 1\)

\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { f(x)-t(x) }{ \parallel x-1\parallel } }=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { x^2+3-(2x+2) }{ \parallel x-1\parallel } }= \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { x^2-2x+1 }{  x-1 } }=  \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { (x-1)^2}{  x-1 } }=\lim _{ x\rightarrow 1 }(x-1)= 0\)

La función \(y = f(x) = x^2+3\) es diferenciable en \(a=1\).

 

Función derivada de una función real

Descripción: 

Dada una función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), podemos definir otra función, que llamamos función derivada, se representa por  \(f':B\subseteq \Re \longrightarrow \Re \)  donde \(B=\left\{ x\in A/\exists f'(x) \right\} \) de tal forma que a cada punto de \(B\) le hacemos corresponder la derivada de \(f\)en ese punto, lo expresamos por \(y'=f'(x)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
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Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 
Funciones derivadas
\(y=2x+3\) \(y'=2\)
\(y=e^x\) \(y'=e^x\)
\(y=lnx\) \(y'=1/x\)
\(y=senx\) \(y'=cosx\)
\(y=1/x\) \(y'=-1/x^2\)

 

Derivada de una función real de variable real en un punto

Descripción: 

Dada la función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\), llamamos derivada de la función f en el punto a, al valor del límite: \(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+h)-f(a) }{ h } \), que representamos por \(f'(a)\). De forma equivalente se puede escribir \(f'(a) = \underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { f(x)-f(a) }{ x-a } \)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
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Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Calcular el valor de la derivada de la función \(f(x)=x^{2}-1\) en el punto \(a=3\)

Utilizamos la definición de derivada en el punto \(a=3\), sustituyendo:

\(f'(3)=\underset { x\rightarrow 3 }{ lim } \frac { f(x)-f(3) }{ x-3 }  =\underset { x\rightarrow 3 }{ lim } \frac { { x }^{ 2 }-1-({ 3 }^{ 2 }-1) }{ x-3 } =\underset { x\rightarrow 3 }{ lim } \frac { { x }^{ 2 }-1-8 }{ x-3 } =\underset { x\rightarrow 3 }{ lim } \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }=\underset { x\rightarrow 3 }{ lim } \frac { { (x+3)(x-3) } }{ x-3 } =\underset { x\rightarrow 3 }{ lim } (x+3)=6\)

Función continua en un conjunto

Descripción: 

Decimos que una función \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \)es continua en un conjunto \(B\subseteq A\) si es continua en todos los puntos de \( B\quad ( \forall x\in B)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Las siguientes funciones reales de variable real, \(f:\Re \longrightarrow \Re \), con dominio todo \(\Re \) son continuas.

a) Las funciones polinómicas.

b) Las funciones exponenciales.

c) Las funciones trigonométricas \(y=sen(x)\); \(y=cos(x)\)

d) El dominio de la función logaritmica con base positiva es el conjunto de los números reales positivos (\(x>0)\). Es continua en su dominio.

 

 

⊆R⟶R\)

Continuidad de una función en un punto

Descripción: 

Decimos que la función \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) es continua en el punto \(a\in A \) cuando se verifica \(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) } =f(a)\). Es decir, el valor de la función en el punto coincide con el límite de la función en ese mismo punto. 

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \( f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)={ x }^{ 2 }+2\) comprobar que es una función continua en el punto a=1

Tenemos que encontrar el límite de la función en el punto, la imagen del punto y ver si coinciden.

a) Imagen de \(f(x)\) en \(a=1\), es decir, el punto pertenece al dominio de la función:  \(1\in Domf\)

\(f(1)={ 1 }^{ 2 }+2=1+2=3\)

b) Límite de \(f(x)\) en \(a=1\)

\(\underset { x\rightarrow { 1 }}{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }={ 1 }^{ 2 }+2=3\)

c) Coinciden:  \(f(1)=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }=3\)

La función dada es continua en el punto \(a=1\)

 

Limite de una función real de variable real en un punto

Descripción: 

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el limite de la función f en el punto \(a\in \Re \) es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Límite
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re\) definida por \(f(x)=2x+1\), probar que \(3\) es el límite de la función cuando la variable independiente \(x\) tiende a \(1\). Es decir, probar que: \(\underset { x\rightarrow 1 }{ lim(2x+1) }=3\in \Re \)

\(\underset { x\rightarrow 1 }{ lim(2x+1) }=3\in \Re\Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad d(x,1)<\delta \Rightarrow d(f(x), 3)<\varepsilon  \right\} \)

Suponemos que conocemos \(\varepsilon>0\), a partir de \(d(f(x), 3)<\varepsilon\) buscamos el correspondiente \(\delta\):

\(d(f(x), 3)<\varepsilon \Leftrightarrow\quad d(2x+1,3)<\varepsilon \Leftrightarrow\quad |2x+1-3|<\varepsilon\Leftrightarrow\quad |2x-2|<\varepsilon\Leftrightarrow\quad |2(x-1)|<\varepsilon\Leftrightarrow\quad 2·|x-1|<\varepsilon\)

En esta desigualdad podemos despejar \(|x-1|\) y obtenemos: \(|x-1|<\varepsilon/2\)

Obtenemos \(\delta\) haciendo \(\delta=\varepsilon/2\)

Nota: Como estamos trabajando en \(\Re\) la distancia entre dos puntos viene dada por el valor absoluto d ela diferencia.

Función inversa

Descripción: 

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow A\subseteq \Re  \right\} \) una función real de variable real, si existe una función que representamos por  \({ f }^{ -1 }\in \Phi \) verificando \({ f }^{ -1 }\circ f={ f\circ f }^{ -1 }=Id\)  decimos que las funciones \( f\) y \( { f }^{ -1 }\) son inversas

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Las funciones \(y=e^x\), función exponencial  e \(y=lnx\), función logarítmo neperiano, son funciones inversas en el conjunto \(A\subseteq \Re\) de los números reales positivos: \(A=\left\{ x \in \Re / x>0  \right\} \)

a) Si tenemos \(y=e^x\) y calculamos el logaritmo neperiano: \(lny=ln(e^x)=x\)

b) Si tenemos \(y=lnx\) y calculamos la función exponencial \(e^y=e^{lnx}=x\)

c) En ambos casos se obtiene la función identidad, es decir, al hacer la composición (o) de las funciones se obtiene la identidad

en el apartado a) primero se aplica la exponencial (e) y luego el logaritmo (ln): \((lnoe)(x)=ln(e(x))=ln(e^x)\)

en el apartado b) primero se aplica el logaritmo(ln) y luego la exponencial (e): \((eoln)(x)=e(ln(x))=e^{lnx}\)

Función identidad

Descripción: 

Dado el conjunto de funciones \(\Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow A\subseteq \Re  \right\} \), existe \(Id\in \Phi \) dada por \(Id(x) = x; \forall x\in A\) y que verifica: \(Id\circ f =f\circ Id =f ; \forall f\in \Phi \), esta función la llamamos función identidad.

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada \(Id:\Re \longrightarrow \Re \) y dada \(f:\Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2+2\). Comprobar que \(Id\circ f =f\circ Id =f\)

\((Id\circ f)(x)=Id(f(x))=Id(x^2+2)=x^2+2=f(x) \)

\( (f\circ Id)(x) =f(Id(x))=f(x)=x^2+2=f(x)\)

 

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