Funciones reales de una variable

Básico para poder entender el lenguaje matemático. Se utilizan en la elaboración de modelos sencillos de economía y de empresa.

Composición de funciones reales de una variable

Descripción: 

Dadas \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y \(g:B\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) dos funciones reales de variable real, tales que  \(f(A)\subseteq B\), definimos la función compuesta de f con g, la función que se representa por \(g\circ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) en la forma: \((g\circ f)(x)=g[f(x)]; \forall x\in A\)

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Funciones
Ejemplo: 

Dadas las funciones \(f(x)=3{ x }^{ 2 }+x \) y \(g(x)=(1/x)\), calcular las funciones compuestsa \((f∘g)(x)\) y \((g∘f)(x)\)

1. \((g∘f)(x)=g(f(x))=(1/(f(x)))=(1/(3{ x }^{ 2 }+x))\)

2. \((f∘g)(x)=f(g(x))=3{[g(x)] }^{ 2 }+g(x)=3((1/x))^{ 2 }+(1/x)\)

Producto de una función por un escalar

Descripción: 

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \)  función real de variable real y \(\lambda \in \Re \) un escalar, se define el producto de la función por un escalar  que se representa por \(\lambda ·f\in \Phi \),  en la forma: \((\lambda ·f)(x) =\lambda ·f(x); \forall x\in A\)

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Ejemplo: 

Dada \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) una función real de variable real  definida por \(f(x)=x+3 \) y dado \(2 \in \Re \) un escalar. Calcular la función producto de \(f\) por el escalar dado: \(2f\)

La función \(2f\) es:

\(2f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) es una función real de variable real definida por \((2·f)(x)=2·f(x)=2·(x+3)=2x+6\)

Suma de funciones

Descripción: 

Dadas \(f,g\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) se define la suma de funciones   \(f+g\in \Phi\) en la forma: \((f+g)(x)=f(x)+g(x); \forall x\in A\)

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Conjunto de funciones

Descripción: 

El conjunto \( \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) , tal que f es una función real de variable real, se denomina conjunto de las funciones con dominio A

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Ejemplo: 

Dada una \( f: \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(y=f(x)=2x+3\) es una función de dominio \(\Re\), y por tanto \(f\in \Phi =\left\{ f: \Re \longrightarrow \Re  \right\} \), conjunto de las funciones reales de variable real con dominio \(\Re\)

Dominio de una función real de variable real

Descripción: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) donde \(y=f(x)\), llamamos dominio de \(f \)al conjunto A.

Es decir, \(A=Dom(f) =\left\{ x\in \Re /\exists f(x) \right\} \) 

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Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) donde \(y=f(x)=\sqrt { x-2 } \). Calcular el dominio de la función.

Planteamos la inecuación:                 \(x-2\ge 0\)

De donde se obtiene:                     \(x\ge 2\)

Así, el dominio de la función dada es: \( Domf=\left\{ x\in \Re /x\ge 2 \right\} =\left[ 2,\quad +\infty  \right[ \)

 

Función real de una variable

Descripción: 

Una función real de variable real es una aplicación  \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) que verifica \(\forall x\in A\), existe un único \(y\in \Re \) tal que \(y=f(x)\)

\(x\in A\) se llama variable independiente o instrumental, \(y\in \Re / y = f(x)\) se llama imagen de \(x\) por \(f\) o variable dependiente

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Ejemplo: 

Dado \( y = f(x) = x^2+3\) define una función real de variable real.

a) El subconjunto \(A\subseteq \Re\) coincide con \(\Re=A\), el dominio de la función son los números reales.

b) Para todo \(x\in A=\Re\), existe un único \(y \in \Re\) que se obtiene elevando \(x\) al cuadrado y sumandole \(3\), es decir \(y=x^2+3\). Todos los elementos del dominio tienen imagen y una sola imagen.

c) Las imagenes de x=0, x=1, x=2 son:

\(f(0)= o^2+3=0+3=3\)

\(f(1)= 1^2+3=1+3=4\)

\(f(0)= 2^2+3=4+3=7\)

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