Límite

Concepto que permite entender la continuidad, la derivada o elasticidad. Se aplica en el estudio de la estabilidad de los modelos y de algoritmos de cálculo

Límites laterales en funciones reales de variable real

Descripción: 

Límite lateral por la derecha

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el límite  de la función f en el punto \(a\in \Re \) por la derecha es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow { a }^{ + } }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow { a }^{ + } }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad x>a \quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Límite lateral por la izquierda

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el límite de la función f en el punto \(a\in \Re \) por la izquierda es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow { a }^{ - } }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow { a }^{ - } }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad x<a \quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Límite
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real definida por  \(f(x)= 2x+1\quad si\quad x\ge 1\quad  y\quad f(x)= { x }^{ 2 }+2\quad si\quad x<1 \). Calcular los límites laterales en el punto \(a=1\).

Límite lateral por la derecha

\(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ lim(2x+1) }=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim(2x+1) }=2·1+1=3\)

Límite lateral por la izquierda

\(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }={ 1 }^{ 2 }+2=3\)

 

 

Limite de una función real de variable real en un punto

Descripción: 

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el limite de la función f en el punto \(a\in \Re \) es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Límite
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re\) definida por \(f(x)=2x+1\), probar que \(3\) es el límite de la función cuando la variable independiente \(x\) tiende a \(1\). Es decir, probar que: \(\underset { x\rightarrow 1 }{ lim(2x+1) }=3\in \Re \)

\(\underset { x\rightarrow 1 }{ lim(2x+1) }=3\in \Re\Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad d(x,1)<\delta \Rightarrow d(f(x), 3)<\varepsilon  \right\} \)

Suponemos que conocemos \(\varepsilon>0\), a partir de \(d(f(x), 3)<\varepsilon\) buscamos el correspondiente \(\delta\):

\(d(f(x), 3)<\varepsilon \Leftrightarrow\quad d(2x+1,3)<\varepsilon \Leftrightarrow\quad |2x+1-3|<\varepsilon\Leftrightarrow\quad |2x-2|<\varepsilon\Leftrightarrow\quad |2(x-1)|<\varepsilon\Leftrightarrow\quad 2·|x-1|<\varepsilon\)

En esta desigualdad podemos despejar \(|x-1|\) y obtenemos: \(|x-1|<\varepsilon/2\)

Obtenemos \(\delta\) haciendo \(\delta=\varepsilon/2\)

Nota: Como estamos trabajando en \(\Re\) la distancia entre dos puntos viene dada por el valor absoluto d ela diferencia.

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