Integral

De aplicación en Estadística y en el estudio de la teoría económica marginal.

Función integral e integral definida

Descripción: 

Dada\( f:[a,b]⊆R→R\)  y \(F(x)=∫_{a}^{x}f(x)dx\) función integral asociada a \(f(x)\) se verifica que \(F(x)\) es derivable y \(F'(x)=f(x)\), \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\),y además \(∫_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)

Descriptores: 
Integral indefinida
Descriptores: 
Integral definida
Descriptores: 
Integral
Ejemplo: 

En cierta fábrica, el costo marginal es \(3{ (q-4) }^{ 2 }\) por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades?

Sea \(CT(q)\) el costo total de producción de \(q\) unidades. Entonces el incremento en el costo, si la producción aumenta de 6 a 10unidades, es la integral definida. \(CT(10)-CT(6)=\int _{ 6 }^{ 10 }{(3({ (q-4) }^{ 2 })dq} = { [{ (q-4) }^{ 3 }] }_{ 6 }^{ 10 } ={ (10-4) }^{ 3 }-{ (6-4) }^{ 3 }=208\)

Función integral

Descripción: 

Sea\( f:[a,b]⊆R→R\) una función real de variable real continua , llamaremos función integral asociada a\(f\), y la representamos por \(F\) a la función real de variable real,\(F:[a,b]⊆R→R   F(x)=∫_{a}^{x}f(x)dx\)

Descriptores: 
Integral definida
Descriptores: 
Integral

Integral de Cauchy

Descripción: 

 Sea \(f:[a,b]⊆R→R\) una función real de variable real continua , diremos que es integrable en el sentido de Cauchy cuando la suma inferior y superior sobre una partición, al tomar particiones más finas, tienden hacia un mismo valor. Ese valor se denomina Integral definida de Cauchy, y se representa como \( IC=∫_{a}^{b}f(x)dx\)     

Descriptores: 
Integral definida
Descriptores: 
Integral

Suma superior. Suma inferior.

Descripción: 

Dado \([a,b]\) un intervalo, y sea \( P=\left\{x₀,x₁,...,x_{n}\right\} \) una partición del intervalo. Si \(M_{i}\) y \(m_{i}\) son los valores máximos y mínimos de \(f\) en cada subintervalo d ela partición \((x_{i-1}, x_{i})\). Definimos

a). Suma superior de \(f\) en \([a,b]\) respecto a la partición \(P\) a \(S_{sup}^{P}ⁿ=\sum _{ i=1 }^{ n }{  } M_{i}(x_{i}-x_{i-1})\)

b). Suma inferior de \(f\) en \([a,b]\) respecto a la partición \(P\) a \(s_{sup}^{P}=\sum _{ i=1 }^{ n }{  } m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\)

Descriptores: 
Integral definida
Descriptores: 
Integral
Ejemplo: 

Sea \(f(x)=2x+3\) la función real de variable real definida sobre el intervalo cerrado \([0,3]\) y sea  \( P=\left\{ 0,0'5,1,2,2'5,3 \right\}  \) una partición del intervalo. Calcular la suma supoerior y la suma inferior de \(f\) en \([0,3]\) respecto a la partición \(P\)

 \(M_{0}=4;  M_{1}=5;  M_{2}= 7;  M_{3}=8; M_{4}=9\) . la suma superior de esta función relativa a la partición dada es:

 \(S_{sup}^{P}ⁿ=\sum _{ i=1 }^{ n }{  } M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=4(0'5-0)+5(1-0'5)+7(2-1)+8(2'5-2)+9(3-2'5)=20\)

 \(m_{0}=3;  m_{1}=4;  m_{2}= 5;  m_{3}=7; m_{4}=8\) . la suma inferior de esta función relativa a la partición dada es:

\(s_{sup}^{P}=\sum _{ i=1 }^{ n }{  } m_{i}(x_{i}-x_{i-1})=3(0'5-0)+4(1-0'5)+5(2-1)+7(2'5-2)+8(3-2'5)=16\)

Partición de un intervalo

Descripción: 

Dado\( [a,b]\) un intervalo, y \(x₀,x₁,...,x_{n}∈[a,b]\)  diremos que \( P={x₀,x₁,...,x_{n}}\) es una partición del intervalo \([a,b]\) si cumple \( a=x₀<x₁<...<x_{n}=b\)

Descriptores: 
Integral definida
Descriptores: 
Integral
Ejemplo: 

Dado\( [0,3]\) un intervalo, y \(0,1,2,3∈[a,b]\)  diremos que \( P ={0,1,2,3}\) es una partición del intervalo \([0,3]\) porque cumple \( 0=0<1<2<3=3\)

Integral indefinida

Descripción: 

Dada \(f:[a,b]⊆R→R\) una función real de variable real, llamaremos integral indefinida al conjunto de todas las primitivas de la función \(f\)  y la representaremos por\(∫f(x)dx=F(x)+C\)

 

Descriptores: 
Integral indefinida
Descriptores: 
Integral
Ejemplo: 

Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es \(IMg=2000-20q-3q²\),encontrar la función de demanda. Suponemos que cuando no se ha vendido ninguna unidad, el ingreso total es 0.

Como \(IMg\) es la derivada del ingreso total , \( IT  = ∫(2000-20q-3q²)dq=2000q-((20q²)/2)-((3q³)/3)=2000q-10q²-q³+C\).

Y para \(q=0, IT=0\), siendo la condición inicial \(\Rightarrow 0=C\). Por tanto: \(IT=2000q-10{ q }^{ 2 }-{ q }^{ 3 }\). Como \(IT=p·q\Rightarrow  p=\frac { IT }{ q } \) es la función de demanda. \(p=(2000q-10{ q }^{ 2 }-{ q }^{ 3 })/q=2000-10q-{ q }^{ 2 }\)

Primitiva de una función

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \) continua en A, decimos que la función real de variable real \( F:{ B\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \) con \(A\subseteq B\) y derivable sobre A, es una función primitiva de f, si verifica \(f(x)=F'(x)\quad \forall x\in A\)

Descriptores: 
Integral indefinida
Descriptores: 
Integral
Ejemplo: 

Dada la función \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \) definida por \( y=f(x)=2x-1\) la función \( F:{ B\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \) dada por \(F(x) ={ x }^{ 2 }-x+3, \forall x\in \Re \) es una primitiva de \(f\)

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