Ángulo de dos vectores

Descripción: 

El ángulo (\(\alpha\) ) que forman dos vectores \(u,v\in { \Re  }^{ n }\), no nulos, se obtiene de la igualdad:  \(u·v=\parallel u\parallel ·\parallel v\parallel cos\alpha \), es decir:

\(\alpha =arccos\frac { u·v }{ \parallel u\parallel ·\parallel v\parallel  } \)

Descriptores: 
Espacio euclídeo
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Que ángulo forman los dos vectores \(u=(1,0)\in { \Re  }^{ 2 }\quad v=(-2,-2)\in { \Re  }^{ 2 }\), no nulos.

1. Calculamos el producto escalar: \(u·v=(1,0)·(-2,-2)=-2+0=-2\)

2. Calculamos la norma de cada uno de los vectores: \(\left\| u \right\| =\left\| (1,0) \right\| =+\sqrt { 1 } =1\\ \left\| v \right\| =\left\| (-2,-2) \right\| =+\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 } } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)

3. Calculamos el coseno del ángulo que forman, a partir de la fórmula: \(cos\alpha =\frac { u·v }{ \left\| u \right\| ·\left\| v \right\|  } \), en nuestro caso se obtiene \(cos\alpha =\frac { (1,0)·(-2,-2) }{ \left\| (1,0) \right\| ·\left\| (-2,-2) \right\|  } =\frac { -2 }{ 1.2\sqrt { 2 }  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } =-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \)

De donde se obtiene que \(\alpha =arccos(-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }) =315º\)