Base de un espacio vectorial

Descripción: 

Un conjunto de vectores  \(\left\{ { v }_{ 1 }; { v }_{ 2 }; ... ; { v }_{ n } \right\} \subset \Re ^{ n }  \)  es una base del espacio vectorial   \(\Re ^{ n }\) sobre  \(\Re \) si es un conjunto de vectores linealmente independientes  y un sistema de generadores.

 

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto de vectores \(\left\{ u=(2,1); v=(1,1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base.

a. Linealmente independientes: Dada la combinación lineal de los vectores igualada a cero;

\(\alpha ·u+\beta·v=\alpha (2,1)+\beta (1,1)=(2\alpha +\beta ,\alpha +\beta )=(0,0)\),

se obtiene el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas  siguiente

\(2\alpha +\beta =0;\\ \alpha +\beta =0 \)

la solución de este sistema es:  \(\alpha =\beta =0\)

b. Sistema de generadores:\(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad \exists \alpha ,\beta \in \Re \) tales que: \(\alpha ·u+\beta·v= (x,y) \)

\(\alpha (2,1)+\beta (1,1)=(2\alpha +\beta ,\alpha +\beta )=(x,y) \)

De donde tenemos el sistema de ecuaciones:

\( 2\alpha +\beta =x;\\ \alpha +\beta =y \)

la solución del sistema es: \(\alpha =x-y;\quad \beta =2y-x\)  \(\quad \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\)