Base ortogonal y base ortonormal

Descripción: 

Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.

Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios

Descriptores: 
Espacio euclídeo
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

a. Comprobar que los vectores \((3,1) (-2,6)\) es una base ortogonal de \({ \Re  }^{ 2 }\)

b. Comprobar que los vectores \((3/\sqrt { 10 }, 1/\sqrt { 10 } )\quad (-2/\sqrt { 40 } ,6/\sqrt { 40 })\) de \({ \Re  }^{ 2 }\) forman una base ortonormal

a. Los vectores  \(u=(3,1), v=(-2,6)\) forman una base

Son linealmente independientes

\(\lambda u+\mu v=\lambda (3,1)+\mu (-2,6)=(3\lambda ,\lambda )+(-2\mu ,6\mu )=(3\lambda -2\mu ,\lambda +6\mu )=(0,0)\Rightarrow 3\lambda -2\mu =0,\quad \lambda +6\mu =0\Rightarrow \lambda =\mu =0\)

Es un sistema de generadores

\(\lambda u+\mu v=\lambda (3,1)+\mu (-2,6)=(3\lambda ,\lambda )+(-2\mu ,6\mu )=(3\lambda -2\mu ,\lambda +6\mu )=(x,y)\Rightarrow 3\lambda -2\mu =x,\quad \lambda +6\mu =y\Rightarrow \lambda =\frac { 3x+y }{ 10 } \mu =\frac { y-7x }{ 10 } \)

Son ortogonales, hacemos el producto escalar de los dos vectores

\(\left( 3,1 \right) ·(-2,6)=(3(-2)+6)=0\Rightarrow cos\alpha =0\Rightarrow \alpha =90º\)

El ángulo que forman los dos vectores es un ángulo recto, porque el producto escalar vale cero.

b. Como \(\left\| (3,1) \right\| =\sqrt { 10 } \), el vector \({ u }_{ 1 }=(3/\sqrt { 10 } ,\quad 1/\sqrt { 10 } )\) es el vector unitario en la dirección del vector \(u=(3,1)\)

y como \(\left\| (-2,6) \right\| =\sqrt { 40 } \) el vector \({ v }_{ 1 }=(-2/\sqrt { 40 } ,6/\sqrt { 40 } )\) es el vector unitario en la dirección del vector \( v=(-2,6)\). Por lo tanto:

Los vectores \({ u }_{ 1 }, { v }_{ 1 }\) forman una base ortonormal