Carácter de una forma cuadrática

Descripción: 

Si \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) es una forma cuadrática, decimos que:

1. f es definida positiva si \(\forall x\in { \Re  }^{ n },\quad x\neq 0\quad \Rightarrow f(x)>0\)

2.  f es semidefinida positiva si \(\forall x\in{ \Re  }^{ n } ,f(x)\ge 0\) y \(\exists x\neq 0\) tal que \(f(x)=0\)

3.  f es definida negativa si \(\forall x\in{ \Re  }^{ n } ,\quad x\neq 0\quad \Rightarrow f(x)<0\)

4.  f es semidefinida negativa si  \(\forall x\in { \Re  }^{ n } ,f(x)\le 0\) y \(\exists x\neq 0\) tal que \(f(x)=0\)

5. f es indefinida en otro caso

Descriptores: 
Formas Cuadráticas
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

a. Estudiar el carácter de la siguiente forma cuadrática \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad f(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\).

La forma cuadrática es definida positiva dado que\( f(x,y)>0 \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }, (x,y)\neq (0,0)\)

b.Estudiar el carácter de la siguiente forma cuadrática \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad f(x,y)={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }\)

Esta forma cuadrática es indefinida, \(\exists (2,1)\neq (0,0)/f(2,1)={ 2 }^{ 2 }-1=4-1=3>0\\ \exists (1,2)\neq (0,0)/f(1,2)=1-{ 2 }^{ 2 }=1-4=-3<0\)