Componentes de un vector en una base

Descripción: 

Si  \(\left\{ { v }_{ 1 }; { v }_{ 2 }; ... ; { v }_{ n } \right\} \) es una BASE de  \({ \Re  }^{ n }\)  entonces \(\exists { \alpha  }_{ 1 }; { \alpha  }_{ 2 }; ...; { \alpha  }_{ n } \in \Re\)  que verifican  \(u=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha  }_{ i }· } { v }_{ i }\). La n-upla ordenada de números reales \(\left( { \alpha  }_{ 1 };{ \alpha  }_{ 2 }; ...;{ \alpha  }_{ n } \right) \) son las componentes del vector u en la base dada.

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Si \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base del espacio vectorial \({ \Re  }^{ 2 }\), y \(w=\left( 2,-1 \right) \in { \Re  }^{ 2 }\), se piden las componentes del vector \(w\) en esta base.

Sabemos que \(\exists \alpha ,\beta \in \Re \) tal que \(w=\alpha (3,1)+\beta (0,-1)\) porque \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base, es decir:

\((2,-1)=\alpha (3,1)+\beta (0,-1)\), resolvemos el sistema de ecuaciones que se obtiene de esta igualdad  \(2=\alpha·3+\beta·0,\\ -1=\alpha·1+\beta·(-1)\)

obtenemos la solución \(\alpha=2/3; \beta=5/3\), así \((2/3, 5/3)\) son las componentes de \(w\) en esta base: \(w=2/3·(3,1)+5/3· (0,-1)\)