Conjunto convexo

Descripción: 

Un conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) decimos que es convexo, si dado cualquier par de puntos del conjunto, el segmento que los une está incluido en el conjunto, es decir, si \(a,b\in A\subseteq { \Re  }^{ n }\Rightarrow \bar { ab } \subset A \), siendo \(\bar { ab } \) el segmento de extremos \(a\) y \(b\)

Descriptores: 
Topología
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{2 }\), definido por \(A=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad x+y\le 1 \right\} \subset { \Re  }^{ 2 }\), es un conjunto convexo.

Seab \(a=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\in A\quad b=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\in A\) hay que ver si \(c=\lambda a+(1-\lambda )b=(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 },\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 })\in A\) con \( 0\le \lambda\le 1\)

\(a=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\in A\Rightarrow \quad { x }_{ 0 }\ge 0,\quad { y }_{ 0 }\ge 0,\quad { x }_{ 0 }+{ y }_{ 0 }\le 1\)

\( b=({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })\in A\Rightarrow \quad { x }_{ 1 }\ge 0,\quad { y }_{ 1 }\ge 0,\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }\le 1\)

\( 0\le \lambda\le 1,  c=\lambda a+(1-\lambda )b=(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 },\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 })\Rightarrow \lambda { x }_{ 0 }+(1-\lambda){ x }_{ 1 })\ge 0\), también \(\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 }\ge 0\)

Finalmente, si hacemos la suma de las componentes se tiene: \(\lambda { x }_{ 0 }+{ (1-\lambda )x }_{ 1 }+\lambda { y }_{ 0 }+{ (1-\lambda )y }_{ 1 }=\lambda ({ x }_{ 0 }+{ y }_{ 0 })+(1-\lambda )({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 })\le \lambda +(1-\lambda )=1\)

Consecuentemente \(c\in A\)