Continuidad de una función en un punto

Descripción: 

Decimos que la función \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) es continua en el punto \(a\in A \) cuando se verifica \(\underset { x\rightarrow a }{ limf(x) } =f(a)\). Es decir, el valor de la función en el punto coincide con el límite de la función en ese mismo punto. 

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Continuidad
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \( f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)={ x }^{ 2 }+2\) comprobar que es una función continua en el punto a=1

Tenemos que encontrar el límite de la función en el punto, la imagen del punto y ver si coinciden.

a) Imagen de \(f(x)\) en \(a=1\), es decir, el punto pertenece al dominio de la función:  \(1\in Domf\)

\(f(1)={ 1 }^{ 2 }+2=1+2=3\)

b) Límite de \(f(x)\) en \(a=1\)

\(\underset { x\rightarrow { 1 }}{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }={ 1 }^{ 2 }+2=3\)

c) Coinciden:  \(f(1)=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }=3\)

La función dada es continua en el punto \(a=1\)