Derivada direccional de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar, \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) y dado un punto del dominio \(a\in A\). Dado un vector unitario \(v\in { \Re  }^{ n } \quad \left\| v \right\| =1\), la recta definida por la dirección del vector \(v\) que pasa por el punto \(a\in A\) es \(x=a+hv\), con \(h\in \Re\). Definimos la derivada direccional de f en el punto \(a\in A\) como el limite, si existe, siguiente:

\({ f }_{ v }^{ ' }(a)=:\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } \)

Si la recta definida por el vector \( v\) es uno de los ejes de coordenadas \({ x }_{ i }\), la derivada direccional se llama derivada parcial de \(f\) respecto de la variable \({ x }_{ i }\) y se representa por \(\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar de dos variables independientes \(f(x,y)=3x+2y\) se pide calcular su derivada direccional en el punto \((1,2)\) según el vector \(v=({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\)

a. Vemos, en primer lugar, que el vector \(v=({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\) es unitario, es decir, \(\parallel v\parallel=1 \)

\(\parallel v\parallel=\parallel ({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }\parallel=+\sqrt { { ({ 3 }/{ 5 }) }^{ 2 }+{ (4/{ 5) } }^{ 2 } } =+\sqrt { { 9 }/{ 25+{ 16 }/2{ 5 } } } =+\sqrt { { 25 }/{ 25 } } =1\)

b. Podemos aplicar la definición de derivada direccional, ya que \(\parallel v\parallel=1 \), \({ f }_{ v }^{ ' }(a)=:\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } \)

\(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+hv)-f(a) }{ h } =\quad \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f((1,2)+h({ 3 }/{ 5 },{ 4 }/{ 5) }-f(1,2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(1+h({ 3 }/{ 5) },2+h{ (4 }/{ 5) })-f(1,2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 3·(1+{ 3h }/{ 5) }+2·(2+4h/{ 5 })-(3·1+2·2) }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 3+{ 9h }/{ 5 }+4+8h/{ 5 }-7 }{ h }=\\ =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 17h/{ 5 } }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 17 }{ 5 } =\frac { 17 }{ 5 } \)