Dimensión de un espacio vectorial

Descripción: 

Llamamos dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que forman una base del espacio vectorial.

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

La dimensión del espacio vectorial \({ \Re  }^{ 2 }\) es 2.

Es decir, las bases de \({ \Re  }^{ 2 }\) tienen 2 vectores. La Base Canónica \(\left\{ (1,0),(0,1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) tiene 2 vectores.

Tambien el conjunto de 2 vectores \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) es una base del espacio vectorial \({ \Re  }^{ 2 }\) .

Vamos a comprobar que el conjunto \(\left\{ (3,1),(2,-3),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re  }^{ 2 }\) no es una base de \( { \Re  }^{ 2 }\). Es suficiente que ver que los vectores no son linealmente independientes:

Si tenemos una combinación lineal igualada a cero \(\alpha (3,1)+\beta (2,-3)+\gamma (0,-1)=(0,0)\), se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: \(3\alpha +2\beta +0\gamma =0\\\alpha-3\beta -\gamma=0\)

Este sistema admite multiples soluciones : \(\beta=-3\alpha; \gamma=10\alpha; \forall \alpha \in \Re \), no se cumple que todos los escalares valen cero. No son linealmente independientes. No es una base.