Elasticidad o Derivada elástica de una función escalar en un punto

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \), siendo su dominio A un conjunto abierto. Si \(a\in A\) con \(f(a)\neq 0\) y si \(\exists \frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\), definimos la elasticidad o derivada elástica de f respecto de \({ x }_{ i }\)en el punto \(a\in A\) en la forma:

\({ E }_{ { x }_{ i } }f(a)=:\underset { { x }_{ i }\rightarrow a_{ i } }{ lim } \frac { \frac { f(x)-f(a) }{ f(a) }  }{ \frac { { x }_{ i }-a_{ i } }{ a_{ i } }  } =\frac { a_{ i } }{ f(a) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y) = x^2+y\), se desea conocer la elasticidad de \(f \) respecto a \(x\) en el punto \((2,1)\)

Aplicamos la fórmula: \({ E }_{ { x }_{ i } }f(a)=\frac { a_{ i } }{ f(a) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x }_{ i } } (a)\) haciendo \(a=(2,1)\), \( { x }_{ i }=x\), \( a_{ i }=2\)

1.- Calculamos la imagen del punto \(f(2,1) = 2^2+1=5\neq 0\)

2.- Calculamos la derivada parcial de \(f\) respecto de \(x\) en el punto \((2,1)\)

La función derivada parcial es: \(\frac { \partial f }{ \partial { x } }(x,y)=2x\)

La derivada parcial en el punto es: \(\frac { \partial f }{ \partial { x }}(2,1)=2·2=4\)

Sustituimos en la fórmula: \({ E }_{ { x } }f(2,1)=\frac { 2 }{ f(2,1) } ·\frac { \partial f }{ \partial { x } } (2,1)=\frac { 2 }{ 5 } ·4 =\frac { 8 }{ 5 }\)