Endomorfismo

Descripción: 

Se llama endomorfismo a cualquier aplicación lineal \( f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ n }\). La matriz asociada a un endomorfismo es cuadrada \(n\times n\)

Descriptores: 
Aplicaciones lineales
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Comprobar que la aplicación \(f:{ \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) dada por \(f(x,y)=(x+y,\quad x-y)\), en la base canónica, es un endomorfismo en \({ \Re  }^{ 2 }\). Dar la matriz asociada a este endomorfismo (es de orden \(2\times 2\)).

a. f es un endomorfismo, es decir, es una aplicación lineal de \({ \Re  }^{ 2 }\) en si mismo

\(f(({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 }))=f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },{y }_{ 1}+{ y }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 },{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }-({ y }_{ 1}+{ y }_{ 2 }))=({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },{ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 }+{ x}_{ 2 }{ -y }_{ 2 })=\\=({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },{ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },{ x}_{ 2}{ -y }_{ 2 })=f({ x }_{ 1 },{y }_{ 1 })+f({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\)

\(f(\lambda (x,y))=f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x+\lambda y,\lambda x-\lambda y)=(\lambda (x+y),\lambda (x-y)=\lambda (x+y,x-y)=\lambda f(x,y)\)

b.  Matriz asociada a f:    \(f(1,0) = (1,1);   f(0,1) =(1, -1)\), la matriz asociada es: