Función cóncava (convexa) en un punto.

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangente a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es cóncava en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le t(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangenta a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es convexa en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\ge t(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangente a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es cóncava estricta en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< t(x)\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dada la recta tangenta a f en el punto a, \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\), decimos que f es convexa estricta en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)> t(x)\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función \(y=x^2\) es estrictamente convexa en el punto \(a=1\)

1.- Calculamos la ecuación de la recta tangente de la función en el punto \(a=1\), aplicando la fórmula \(t(x)=f(a)+f'(a).(x-a)\)

Primero calculamos: \(f(1)=1^2=1\). En segundo lugar calculamos la derivada: \(f'(x)=2x\) y sustituimos en el punto \(a=1\), \(f'(1)=2\). Finalmente sustituimos en la fórmula anterior. \(t(x)=f(1)+f'(1).(x-1)=1+2(x-1)=2x-1\)

2.- Calculamos el valor de la tangente y de la función en un punto próximo a \(a=1\), para ello tomamos \(x=1+\theta \varepsilon , con \theta \rightarrow 0\)

\(f(1+\theta \varepsilon)=(1+\theta \varepsilon)^2=1+2\theta \varepsilon+(\theta \varepsilon)^2\)

\(t(1+\theta \varepsilon)=1+2(1+\theta \varepsilon-1)=1+2\theta \varepsilon\)

3.- Calculamos la diferencia entre la función y la tangente en ese punto

\(f(1+\theta \varepsilon)-t(1+\theta \varepsilon)=1+2\theta \varepsilon+(\theta \varepsilon)^2-(1+2\theta \varepsilon)=(\theta \varepsilon)^2>0\)

Como es estrictamente mayor que cero, la función es estrictamente convexa en el punto.