Función compuesta de funciones escalares y vectoriales

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \quad x=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }, ... ,{ x }_{ n })\quad y=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }, ... ,{ x }_{ n })\) y una función vectorial \({ g }:{ \Re  }^{ k }\longrightarrow { \Re  }^{ n }\) siendo \( t=({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 }, ...,{ t }_{ k }); \quad x=g(t)\), es decir, \(  { x }_{ i }={ g }_{ i }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 }, ... ,{ t }_{ k })\quad \forall i=1,2,...,n\) verificando que la imagen de g está contenida en el dominio de f; definimos la función escalar compuesta  \(f\circ g\),  que se lee g compuesta con f,  \(f\circ g:{ \Re  }^{ k }\longrightarrow \Re \) de la siguiente manera:\((f\circ g)({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 }, ...,{ t }_{ k })=f\left[ g({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 }, ... ,{ t }_{ k }) \right] =f\left[ { g }_{ 1 }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },...,{ t }_{ k }), { g }_{ 2 }({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 }, ...,{ t }_{ k }), ...,{ g }_{ n }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },...,{ t }_{ k }) \right] \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dadas:  la función escalar  \(f:{ \Re  }^{ 2}\longrightarrow \Re \quad x=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\quad y=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }\) y la función vectorial \({ g }:{ \Re  }^{ 3 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\) siendo \( t=({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 });  x=g(t)=({g}_{1}(t),{g}_{2}(t))\), es decir, \(  { x }_{ 1 }={ g }_{ 1}({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 })={ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } + { t }_{ 3 }\) y  \(  { x }_{ 2 }={ g }_{ 2}({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 })={ t }_{ 1 } -{ t }_{ 2 }-{ t }_{ 3 }\). Se pide calcular la función escalar compuesta \(f\circ g\).

La función compuesta  \((f\circ g):{ \Re  }^{ 3 }\longrightarrow { \Re  }\)

se obtiene: 

\(y=(f\circ g)({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3 })=f\left[ g({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 },{ t }_{ 3}) \right] =f\left[ { g }_{ 1 }({ t }_{ 1 }, { t }_{ 2 },{ t }_{ 3}), { g }_{ 2 }({ t }_{ 1 },{ t }_{ 2 },{ t }_{ 3 }) \right] =f({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } + { t }_{ 3}, { t }_{ 1 } -{ t }_{ 2 }-{ t }_{ 3 })\)=

=\(2({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } + { t }_{ 3}) -({ t }_{ 1 } -{ t }_{ 2 }-{ t }_{ 3 })={ t }_{ 1 }+3{ t }_{ 2 } + 3{ t }_{ 3}\)