Función creciente (decreciente) en un punto

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función creciente  en el punto \(a\in A\), si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)\ge f(a)\quad f(a-h)\le f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)\le f(a)\quad f(a-h)\ge f(a)]\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función decreciente  en el punto \(a\in A\), si

si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)\le f(a)\quad f(a-h)\ge f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)\ge f(a)\quad f(a-h)\le f(a)]\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función estrictamente creciente  en el punto \(a\in A\), si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)> f(a)\quad f(a-h)< f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)< f(a)\quad f(a-h)> f(a)]\)

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y sea \(a\in A\). Decimos que \(f\) es una función  estrictamente decreciente  en el punto \(a\in A\), si

si \([h\rightarrow 0 \quad h>0\Rightarrow f(a+h)< f(a)\quad f(a-h)> f(a)]\) y  si \([h\rightarrow 0\quad h<0\Rightarrow f(a+h)> f(a)\quad f(a-h)< f(a)]\)

 

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-4x+2\) ver si es creciente o decreciente en el punto \(a=3\)

1. Calculamos la imagen de \(a=3\) y de \(x=3+h\)

\(f(3)= 3^2-4·3+2=-1\); \(f(3+h)=(3+h)^2-4(3+h)+2=9+6h+h^2-12-4h+2=-1+h^2+2h\)

2. Comparamos las imagenes, haciendo la diferencia:  \(f(3+h)-f(3) =h^2+2h\).

Si \(h>0 \Rightarrow (f(3+h)-f(3)>0 \Rightarrow (f(3+h)>f(3)\)

Si \(h<0 \Rightarrow (f(3+h)-f(3)<0\) si se tiene que \(h\rightarrow 0\) \((h<2)\), \(\Rightarrow (f(3+h)<f(3)\)

3. Repetimos el proceso con la imagen de \(x=3-h\) y comparamos con \(f(3)\)

\(f(3-h)=(3-h)^2-4(3-h)+2=9-6h+h^2-12+4h+2=-1-2h+h^2\)

\(f(3-h)-f(3)=h^2-2h\)

Si \(h>0 \Rightarrow (f(3-h)-f(3)<0\) si se tiene que \(h\rightarrow 0\) \((h<2)\) \(\Rightarrow (f(3-h)<f(3)\)

Si \(h<0 \Rightarrow (f(3-h)-f(3)>0\) \( \Rightarrow (f(3-h)>f(3)\)

Conclusión, juntando todos los resultados vemos que la función es estrictamente creciente en \(a=3\)