Función decreciente en un conjunto

Descripción: 

 

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), decimos que \(f\) es decreciente si \(\forall x,y\in A, x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)\).

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), decimos que \(f\)es estrictamente decreciente si \(\forall x,y\in A,x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\).

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

 

Dada una función real de variable real, \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) definida por \(f(x)=x^2-4x+2\) probar que es decreciente en el conjunto \(A=]-\infty, 2[\).

Tomamos \(x<y\) y calculamos sus imagenes:   \(f(x)=x^2-4x+2\);  \(f(y)=y^2-4y+2\).

Ahora debemos comparar dichas imagenes \(f(y)-f(x)\)

\(f(y)-f(x)=y^2-4y+2-(x^2-4x+2)=y^2-x^2-4y+4x=(y+x)(y-x)-4(y-x)=(y-x)(y+x-4)\)

Por hipótesis \(y>x \Rightarrow y-x>0\) y \( x<2\Rightarrow x-2<0\) y \( y<2\Rightarrow y-2<0\), es decir: \((y+x-4)<0\) y   \((y-x)(y+x-4)<0\)

La función es estrictamente decreciente en el conjunto  \(A=]-\infty , 2[\)