Función derivada parcial segunda

Descripción: 

Se llaman derivadas parciales segundas de una función a las derivadas parciales de las funciones derivadas parciales (primeras). Se representan en la siguiente forma:

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }_{ i }\partial { x }_{ j } } (x)=:\frac { \partial { (\frac { \partial { f } }{ \partial { x }_{ i } } (x)) } }{ \partial { x }_{ j } } \), la derivada parcial segunda de \(f\) respecto de \({ x }_{ i }\) y de \({ x }_{ j }\) es la que se obtiene haciendo la derivada parcial primera de la función derivada parcial primera \(\frac { \partial { f } }{ \partial { x }_{ i } } (x)\) respecto de  \({ x }_{ j }\).

Si hacemos la derivada parcial respecto de la misma variable dos veces, hablamos de la derivada parcial segunda respecto de \({ x }_{ i }\) dos veces, la representamos:

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x }_{ i } \right)  }^{ 2 } } (x)=:\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial { x }_{ i }\partial { x }_{ i } } (x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 3 }\longrightarrow \Re \), definida por \(f(x,y,z) = x^2+3xy-xz\). Calcular las derivadas parciales segundas: \(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }\partial {y } } (x,y,z)\); \(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x } \right)  }^{ 2 } } (x,y,z)\)

Primero calculamos las funciones derivadas parciales primeras

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } (x,y,z)=2x+3y-z\)

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { y } } (x,y,z)=3x\)

\( \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { z } } (x,y,z)=-x\)

En segundo lugar derivamos la función derivada parcial primera respecto de \(x\) respectos de sus variables \(y\) y \(x\)

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ \partial { x }\partial {y } } (x,y,z)=\frac{ {\partial}{ \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } } }{\partial { y } } (x,y,z)=3\)

 

\(\frac { { \partial  }^{ 2 }{ f } }{ { \left( \partial { x } \right)  }^{ 2 } } (x,y,z)=\frac{ {\partial}{ \frac{ {\partial}{ f } }{\partial { x } } } }{\partial { x } } (x,y,z)=2\)