Función diferenciable

Descripción: 

Dada una función \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) decimos que es diferenciable  en un punto \(a\) si existe \(t(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) verificando que:

\(\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { f(x)-t(x) }{ \parallel x-a\parallel } }=0\)

Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Derivada
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Comprobar que la función \(y = f(x) = x^2+3\) es diferenciable en \(a=1\).

Primero calculamos: \(f(1)=4\), y  la función derivada \(f'(x)=2x\) y sustituimos \(x\) por \(1\); \(f'(1)=2\)

Después buscamos la recta tangente en \(a=1\): \(t(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=4+2(x-1)=2x+2=2(x+1)\)

Finalmente calculamos el limite cuando \(x\rightarrow 1\)

\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { f(x)-t(x) }{ \parallel x-1\parallel } }=\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { x^2+3-(2x+2) }{ \parallel x-1\parallel } }= \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { x^2-2x+1 }{  x-1 } }=  \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { (x-1)^2}{  x-1 } }=\lim _{ x\rightarrow 1 }(x-1)= 0\)

La función \(y = f(x) = x^2+3\) es diferenciable en \(a=1\).