Función escalar cóncava (convexa) en un punto

Descripción: 

 

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es cóncava en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le t(x)\)

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es convexa en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\ge t(x)\)

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es estrictamente cóncava en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< t(x)\)

Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado el hiperplano  tangente a \(f \)en el punto \(a \in A \), \(t(x)=f(a)+\triangledown f(a)(x-a)\), decimos que f es estrictamente convexa en \(a\in A\), si \(\exists \varepsilon >0\) y \(\forall x\in \overset { o  }{ B } (a;\varepsilon ) \subseteq A\)se verifica \(f(x)> t(x)\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 } \longrightarrow \Re \), definida por \(z=f(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+3\). probar que es convexa en \((0,0)\).

Se busca el plano tangente \(t(x,y)\)

\(f(0,0)=3\)

\(\triangledown f(x,y)=(2x,2y)\Rightarrow \triangledown f(0,0)=(0,0)\)

 \(t(x,y)=f(0,0)+ \triangledown f(0,0)·(x-0,y-0)=3+(0,0)·(x,y)=3\)

Se comparan \(f(x,y)\) y \(t(x,y)\) en un entorno de \((0,0)\)

\(f(x,y)-t(x,y)={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+3-3={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\ge 0\), la función es convexa.