Función escalar continua en un punto
Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re }^{ n }\longrightarrow { \Re }\) decimos que es continua en un punto \(a\in A\) si se cumple \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x) = f(a)\)
También se puede escribir \(\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x)=f(a)\Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0\quad /\quad \forall x\in A,\quad x\neq a\quad \left\| x-a \right\| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-f(a) \right| <\varepsilon \right\} \)
Dada una función escalar \(f:A\subseteq { \Re }^{ 2 }\longrightarrow { \Re }\) por \(z=f(x,y)=x+y\). Probar que es continua en el punto\( (0,0)\)
1.- Calculamos la imagen del punto: \(f(0,0)=0+0=0\)
2.- Calculamos el límite en el punto:\( \lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ f(x,y) } =\lim _{ (x,y)\rightarrow (0,0) }{ (x+y) } =0\)
3.- Como la imagen y el límite coinciden, la función es continua en el punto
Versión en PDF