Función escalar de clase \({ C }^{ 1 }\)

Descripción: 

Decimos que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }\) es de clase \({ C }^{ 1 }\)  en el punto \(a\in A\), si, en un entorno del punto,  existen todas sus derivadas parciales y son continuas en \(a\in A\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Diferencial
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Probar que la función escalar \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\) definida por \(z=f(x,y)=x^2-2y\) es de clase \({ C }^{ 1 }\)  en el punto \((1,1)\in A\).

1. La función tiene derivadas parciales en todos los puntos de su dominio, calculamos las funciones derivadas parciales.

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=2x\\ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y)=-2\)

2. Las dos funciones derivadas parciales son continuas en el punto \((1,1)\in A\)

\(\frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2\quad \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y) } =2; \frac { \partial f }{ \partial x } (1,1)=2=\lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y) }\\ \frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=-2\quad \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y) } =-2;\frac { \partial f }{ \partial y } (1,1)=-2= \lim _{ (x,y)\rightarrow (1,1) }{ \frac { \partial f }{ \partial y } (x,y) }\)