Función escalar o función real de varias variables

Descripción: 

Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable multiple) es una aplicación que representamos por \(\underset { \quad \quad\quad({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\longrightarrow z=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) }{ f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re  } \), donde el conjunto \(A\subseteq { \Re  }^{ n }\) se llama dominio de \(f\), se representa por \(A=Dom(f)=Domf\).

El dominio de \(f\), es el conjunto de los elementos de \({ \Re  }^{ n }\) que tienen imagen mediante \(f\), es decir:  \(A=Domf=\left\{( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in { \Re  }^{ n }/\exists f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right\} \)

Llamamos imagen de la función \(f\) al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa por\(Im(f)\).

\(Im(f) = \left\{ z\in \Re / \exists ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in A\subseteq { \Re  }^{ n } verificando\quad z=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right\} \)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

La función \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(f(x,y)=+\sqrt { { x }^{ 2 }y } \). Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.

Dominio de la función.

\(\exists f(x,y)\Leftrightarrow { x }^{ 2 }y\ge 0\Leftrightarrow y\ge 0\Rightarrow Dom(f)=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/y\ge 0 \right\} \)

Imagen de la función.

\({ x }^{ 2 }y\ge 0\Rightarrow +\sqrt { { x }^{ 2 }y } \ge 0 \Rightarrow Im(f)=[0,+\infty [\subset \Re  \)