Función vectorial

Descripción: 

Una función vectorial es una aplicación \(\underset { ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\longrightarrow ({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },...,y_{ m })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) }{ f:A\subseteq { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m } } \), en la que \(A\) es el dominio de la función, es decir:

\(A = Dom(f)=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in { \Re  }^{ n }/\exists f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right\} \)

Llamamos imagen de f, \(Im(f)\), al conjunto de los elementos de \({ \Re  }^{ m }\) que estan en correspondencia con algún elemento del dominio, es decir:

\(Im(f)=\left\{ (y_{ 1 },y_{ 2 },...,y_{ m })\in { \Re  }^{ m }/\quad \exists ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\in A\subseteq { \Re  }^{ n }\quad verificando\quad (y_{ 1 },y_{ 2 },...,y_{ m })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n }) \right\} \)

Las funciones escalares dadas por:  \(y_{ 1 }=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\), \(y_{ 2 }=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\) , ...,  \(y_{ m }=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n })\) se llaman funciones componentes de la función vectorial f

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función vectorial es una aplicación \(\underset { ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\longrightarrow ({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },y_{ 3 })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }) }{ f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 3} } \) por: \(({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },y_{ 3 })=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }, { x^2 }_{ 1 }/{ x }_{ 2 },ln({ x }_{ 1 }.{ x }_{ 2 }))\). Dar su dominio y sus funciones componentes.

Las funciones componentes son:

\({ y }_{ 1 }={ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }\); su dominio es:  \(dom({ y }_{ 1 })={ \Re  }^{ 2 }\)

\({ y }_{ 2 }={ x^2 }_{ 1 }/{ x }_{ 2 }\); su dominio es: \( dom({ y }_{ 2 })={ \Re  }^{ 2 }\setminus \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } / { x }_{ 2 }=0 \right\}\)

\({y}_{ 3 }=ln({ x }_{ 1 }.{ x }_{ 2 })\); su dominio es: \(dom({ y }_{ 3})=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }·{ x }_{ 2 }>0 \right\}\)

El dominio de la función vectorial \(f\) es la intersección de los dominios de sus funciones componentes.

 \(Domf=dom({ y }_{ 1 })\cap dom{ (y }_{ 2 })\cap dom({y }_{ 3 })={ \Re  }^{ 2 }\cap { \Re  }^{ 2 }\setminus \left\{ ({ x }_{ 1 },0),\quad \forall { x }_{ 1 }\in \Re  \right\} \cap \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }·{ x }_{ 2 }>0 \right\} =\)

\(=\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }·{ x }_{ 2 }>0 \right\} =\left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }>0\quad y\quad { x }_{ 2 }>0 \right\} \cup \left\{ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }/{ x }_{ 1 }<0\quad y\quad { x }_{ 2 }<0 \right\} \)

El \(Dom(f)\) es la unión del primer y tercer cuadrante de \({ \Re  }^{ 2 }\) excluyendo los ejes de coordenadas.