Límite direccional (o límite según trayectorias rectilíneas) de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar de dos variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definimos el límite de \(f\) en el punto \((a,b)\) según la dirección de la recta que pasa por el punto  \((a,b)\)  y tiene la pendiente \(m\), como sigue: \(\underset { (x,y)\rightarrow (a,b)\\ y-b=m(x-a) }{ lim } f(x,y)=: \underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x,b+m(x-a))\)

Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función escalar de dos variables \(f:A\subseteq { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }\), definida por \(f(x,y)=\frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x } \) buscar su  límite según la dirección de la recta paralela a la bisetríz del primer cuadrante en el punto \((1,2)\).

a. La ecuación de la bisetríz del primer cuadrante es \(y=x\), y su pendiente es \(m=1\). Así la ecuación de la recta paralela a la bisetríz que pasa por el punto dado es: \(y-2= m(x-1)=x-1\), es decir, \(y=x+1\)

b. Aplicamos la formúla anterior.  \(\underset { (x,y)\rightarrow (a,b)\\ y-b=m(x-a) }{ lim } f(x,y) =: \underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x, b+m(x-a))\)

 \(\underset { (x,y)\rightarrow (1,2)\\ y-2=x-1 }{ lim } \frac { 4{ x }^{ 2 }-4xy+{ y }^{ 2 } }{ 2x }) = \underset { x\rightarrow 1 }{ lim } \frac { 4{ x }^{ 2 }-4x(x+1)+{ (x+1) }^{ 2 } }{ 2x }= \frac { 4.{ 1}^{ 2 }-4.1.(1+1)+{ (1+1) }^{ 2 } }{ 2.1 }=0\)