Límites laterales en funciones reales de variable real

Descripción: 

Límite lateral por la derecha

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el límite  de la función f en el punto \(a\in \Re \) por la derecha es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow { a }^{ + } }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow { a }^{ + } }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad x>a \quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Límite lateral por la izquierda

Dada \(f\in \Phi =\left\{ f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re  \right\} \) una función real de variable real y dado\(a\in \Re\), decimos que el límite de la función f en el punto \(a\in \Re \) por la izquierda es el número \(L\in \Re \), que representamos por: \(\underset { x\rightarrow { a }^{ - } }{ limf(x) }=L\in \Re \) y que definimos por:

\(\underset { x\rightarrow { a }^{ - } }{ limf(x) } =L\in \Re \Leftrightarrow \left\{ \forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0/\forall x\in A,\quad x<a \quad d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x), L)<\varepsilon  \right\} \)

Descriptores: 
Límite
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función real de variable real definida por  \(f(x)= 2x+1\quad si\quad x\ge 1\quad  y\quad f(x)= { x }^{ 2 }+2\quad si\quad x<1 \). Calcular los límites laterales en el punto \(a=1\).

Límite lateral por la derecha

\(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ lim(2x+1) }=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim(2x+1) }=2·1+1=3\)

Límite lateral por la izquierda

\(\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ limf(x) } =\underset { x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }=\underset { x\rightarrow { 1 } }{ lim({ x }^{ 2 }+2) }={ 1 }^{ 2 }+2=3\)