Máximo (mínimo) global de una función escalar

Descripción: 

 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)\le f(a)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo global o absoluto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)\le f(x)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo global  estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(x)< f(a)\)

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n } \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo global estricto en \(a\in A\) si \(\forall x\in A\quad f(a)> f(x)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada la función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5\). Probar que \(f\) presenta un mínimo global en \(a=(1,2)\in A\).

a. Calculamos la imagen de   \(a=(1,2)\in A ={\Re  }^{ 2 }\).

\(f(1,2)=1^2+2^2-2·1-4·2+5=0\)

b. Calculamos la imagen de  \((x,y)\in {\Re  }^{ 2 }\)

\(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 =x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0 =f(1,2)\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 }\)

La función \(f\) presenta un mínimo global en el punto  \(a=(1,2)\in {\Re  }^{ 2 }\). Se trata de un mínimo estricto, no existe ningún punto de \({\Re  }^{ 2 }\) distinto del \((1,2)\), cuya imagen sea \(0\), es decir, \(f(x,y)\neq 0\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 };(x,y)\neq (1,2)\)