Máximo (mínimo) local de una función escalar

Descripción: 

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo local o relativo en \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica \(f(x)\le f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo local o relativo en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica\( f(x)\ge f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que\(f\) presenta un máximo local  estricto en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica\(f(x)<f(a)\).

Dada una función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ n }\longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo local estricto en  \(a\in A\) si \(\forall x\in B\subseteq A\), \(\beta \) entorno de \(a\in A\) se verifica \(f(x)>f(a)\)

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones de varias variables
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

 

Dada la función escalar \(f:{ A\subseteq \Re  }^{ 2 }\longrightarrow \Re \) definida por \(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5\). Probar que \(f\) presenta un mínimo local en \(a=(1,2)\in A\).

a. Calculamos la imagen de   \(a=(1,2)\in A ={\Re  }^{ 2 }\).

\(f(1,2)=1^2+2^2-2·1-4·2+5=0\)

b. Calculamos la imagen de  \((x,y)\in \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) siendo \( \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) un entorno del punto \((1,2)\), es decir: \(\beta =\left\{ (x,y)\in \Re ^{ 2 }/d((x,y),(1,2))<\varepsilon   \right\} \)

\(z=f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 =x^2-2x+1+y^2-4y+4=(x-1)^2+(y-2)^2\ge 0 =f(1,2)\quad \forall (x,y)\in \Re ^{ 2 }\)

La función \(f\) presenta un mínimo local en el punto  \(a=(1,2)\). Se trata de un mínimo estricto, no existe ningún punto de \((x,y)\in \beta \in { \zeta  }_{ (1,2) }\) distinto del \((1,2)\), cuya imagen sea \(0\), es decir, \(f(x,y)\neq 0\quad \forall (x,y)\in \beta;(x,y)\neq (1,2)\)