Máximo (mínimo) local de una función real de variable real

Descripción: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un máximo local o relativo en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)\le f(a)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un mínimo local o relativo en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(a)\ge f(x)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\)presenta un máximo local estricto en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(x)< f(a)\).

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \) y dado \(a\in A\). Decimos que \(f\) presenta un mínimo local estricto en \(a\in A\) si \(\exists \varepsilon >0\quad\forall x\in \left( a-\varepsilon ,\quad a+\varepsilon  \right) \subseteq A\) se verifica \(f(a)> f(x)\).

Descriptores: 
Óptimos
Descriptores: 
Funciones reales de una variable
Descriptores: 
Funciones
Ejemplo: 

Dada una función real de variable real \(f:A\subseteq \Re \longrightarrow \Re \), definida por \(f(x)=1-x \quad si  0\le x\le 1\) y \( f(x)=2-x\quad \forall x>1\), ver que en el punto \(x=1\) la función tiene un mínimo local y en \(x=0\) presenta un máximo local.

a. Mínimo local.

La imagen de \(1\) es \(f(1)=0\)

Si \(0<x<1\Rightarrow f(x)>0=f(1)\) y si \( 1<x<2\Rightarrow f(x)>0=f(1)\)

Si tomamos valores de \(x\) próximos a \(1\),es suficiente considerar  \(0<x<2, x\neq 1\) se cumple la definición de mínimo local (es un mínimo estricto)

b. Máximo local.

La imagen del punto es: \(f(0)=1\)

Si \(0<x<1\Rightarrow f(x)<1=f(0)\).

Si tomamos valores de \(x\) próximos a \(0\),es suficiente considerar  \(0<x<1, x\neq 0\) se cumple la definición de máximo local (es un máximo estricto)