Producto por un escalar: Operación externa

Descripción: 

La operación externa, producto de un vector por un escalar, se representa:

\({ · }_{ \lambda  }:{ \Re  }\times { \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ n }\)

\((\lambda ,v)\longrightarrow u=\lambda ·v\)

Definición: \(\lambda \in \Re  v=\left( { x }_{ 1 };{ x }_{ 2 };...;{ x }_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\Rightarrow \lambda ·v=\left( { \lambda x }_{ 1 };{ \lambda x }_{ 2 };...;{ \lambda x }_{ n } \right)\in { \Re  }^{ n } \)

que verifica:

\(1.\quad \lambda ·(\mu ·v)=(\lambda \mu )·v;  \forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ n }\) asociatividad

\( 2.\quad \lambda .(u+v)=\lambda ·u+\lambda ·v ;\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ n } \)distributividad

\( 3.\quad (\lambda +\mu )·v=\lambda ·v+\mu ·v;   \forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ n }\) distributividad

\(4.\quad 1·v=v; 1\in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ n } \) existencia de elemento unidad

 

 

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

La operación externa, producto de un vector de \({ \Re  }^{ 2 }\)por un escalar, se representa:

\({ · }_{ \lambda  }:{ \Re  }\times { \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 2 }\)

\((\lambda ,v)\longrightarrow u=\lambda ·v =\lambda ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } \)

verifica las propiedades:

\(1.\quad\lambda (\mu v)=\lambda (\mu ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }))=\lambda (\mu { x }_{ 1 },\mu { x }_{ 2 })=(\lambda \mu { x }_{ 1 },\lambda \mu { x }_{ 2 })=(\lambda \mu )({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=(\lambda \mu) v \quad\forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(2.\quad \lambda .(u+v)=\lambda ·u+\lambda ·v ;\quad \lambda (u+v)=\lambda (({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })+({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }))=(\lambda ({ y }_{ 1 }+{ x }_{ 1 },y_{ 2 }+{ x }_{ 2 }))=(\lambda ({ y }_{ 1 }+{ x }_{ 1 }),\lambda (y_{ 2 }+{ x }_{ 2 }))=\\ =(\lambda { y }_{ 1 }+\lambda { x }_{ 1 },\lambda y_{ 2 }+\lambda { x }_{ 2 })=(\lambda { y }_{ 1 },\lambda y_{ 2 })+(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })=\lambda ({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })+\lambda ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=\lambda u+\lambda v\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ 2 } \)

\(3.\quad (\lambda +\mu )·v=\lambda ·v+\mu ·v;  (\lambda +\mu )v=(\lambda +\mu )({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }))=((\lambda +\mu ){ x }_{ 1 },(\lambda +\mu ){ x }_{ 2 })=\\=(\lambda { x }_{ 1 }+\mu { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 }+\mu { x }_{ 2 })=(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })+(\mu { x }_{ 1 },\mu x_{ 2 })=\lambda ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })+\mu ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=\lambda v+\mu v\quad \forall \lambda ,\mu \in \Re ,\quad \forall v\in { \Re  }^{ 2 } \)

\(4.\quad 1·v=v; 1\in \Re ,\quad 1v=1({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=(1{ x }_{ 1 },1{ x }_{ 2 })=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })=v \quad \forall v\in { \Re  }^{ 2 } \)  existencia de elemento unidad