Subespacio vectorial

Descripción: 

Decimos que \(S\) es un subespacio vectorial de \({ \Re  }^{ n }\), si cumple:

1. \(S\neq \emptyset \quad \) y \( S\subseteq { \Re  }^{ n }\).

2. \(\forall u,v\in S\Longrightarrow u+v\in S\)

3. \(\forall \lambda \in \Re \quad \forall u\in S\Longrightarrow \lambda u\in S\)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

El conjunto \(S=\left\{ (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }/x-y=0 \right\} \) es un subespacio vectorial de \({ \Re  }^{ 2 }\).

Efectivamente:

1. \(S\neq \phi \quad (0,0)\in S\) y, además \( S\subseteq { \Re  }^{ 2 }\), todos sus elementos pertenecen a \({ \Re  }^{ 2 }\)

2. Dados \(v=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in S,\quad u=({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 })\in S\Longrightarrow v+u=({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 })\in S\)

Comprobamos que \(v+u\in S\)

\({ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }-({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 })={ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 }=({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })+({ y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 })=0+0=0\)

3. Dado \(v=({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 })\in S, \lambda \in \Re \Longrightarrow \lambda v=(\lambda { x }_{ 1 },\lambda { x }_{ 2 })\in S\)

Comprobamos que \( \lambda v\in S\)

\(\lambda { x }_{ 1 }-\lambda { x }_{ 2 }=\lambda ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })=\lambda 0=0\)