Suma de vectores. Operación interna.

Descripción: 

La suma de vectores es una operación interna que se representa por: $$+:{ \Re  }^{ n }\times { \Re  }^{ n }⟶{ \Re  }^{ n }$$

$$(u,v)⟶w=u+v$$

Definición: \(u=\left( { x }_{ 1 };{ x }_{ 2 };...;{ x }_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\quad v=\left( { y }_{ 1 };y_{ 2 };...;y_{ n } \right) \in { \Re  }^{ n }\Rightarrow w=u+v=\left( { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 };{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 };...;{ x }_{ n }+{ y }_{ n } \right)\in { \Re  }^{ n } \)

y que verifica las propiedades:

1. Conmutativa:\( u+v = v+u  \quad\forall u,v\in { \Re  }^{ n } \)

2. Asociativa:\( (u+v)+w = u+(v+w)\quad\forall u,v,w\in { \Re  }^{ n }\)

3. Existencia de elemento neutro, el \(0\in { \Re  }^{ n } / 0+u= u+0 = u \quad \forall u\in { \Re  }^{ n }\)

4. Existencia de elemento simétrico, \( \forall u\in { \Re  }^{ n }\quad \exists (-u){ \in \Re  }^{ n }/ u+(-u) =(-u)+u=0\)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Dado el conjunto de los pares ordenados de números reales \({ \Re  }^{ 2 }=\left\{ \left( x,y \right) /x,y\in \Re  \right\} \), definimos una operación interna, conocida como suma, en la forma habitual.

Dados los pares ordenados  \(u=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } v=({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 } w=({ w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }\) donde \({ w }_{ 1 }={ u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 }\quad { w }_{ 2 }={ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 }\), decimos que \(w\) es la suma de \(u\) y \(v\), es decir,  \(w=u+v\).

La suma así definida es una operación interna en \({ \Re  }^{ 2 }\), el resultado de sumar dos elementos de \({ \Re  }^{ 2 }\) es un elemento de \({ \Re  }^{ 2 }\), se representa por una aplicación \(+:{ \Re  }^{ 2 }\times { \Re  }^{ 2 }{ \longrightarrow \Re  }^{ 2 } \).

1. La suma es conmutativa, \(u+v=v+u, \forall u,v\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(u+v=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })=({ u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 },{ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 })=({ v }_{ 1 }+{ u }_{ 1 },{v }_{ 2 }+{u }_{ 2 })=({ v}_{ 1 },{ v }_{ 2 })+({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })=v+u\)

2. Asociativa:\(\quad (u+v)+w=u+(v+w)\quad\quad\forall u,v,w\in { \Re  }^{ 2 }\)

\(\left( u+v \right) +w=\left[ { (u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 }) \right] +{ (w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })={ (u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 },{ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 })+({ w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })=({ (u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 })+{ w }_{ 1 },({ u }_{ 2 }+{ v }_{ 2 })+{ w }_{ 2 })=\\ =({ u }_{ 1 }+({ v }_{ 1 }+{ w }_{ 1 }),{ u }_{ 2 }+({ v }_{ 2 }+{ w }_{ 2 }))=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+({ v }_{ 1 }+{ w }_{ 1 },{ v }_{ 2 }+{ w }_{ 2 })=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })+\left[ ({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })+{ (w }_{ 1 },{ w }_{ 2 }) \right] =u+(v+w)\)

3. Existe elemento neutro \((0,0)\), \((0,0)+({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })=({ 0+u }_{ 1 },{ 0+u }_{ 2 })=({ u }_{ 1 }+0,{ u }_{ 2 }+0)=({ u }_{ 1 },{ u }_{ 2 })\)

4. Existe elemento opuesto \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\exists (-x,-y)\in { \Re  }^{ 2 }\quad (x,y)+(-x,-y)=(0,0)\)

\((x,y)+(-x,-y)=(x-x,y-y)=(0,0)\)

El conjunto \({ \Re  }^{ 2 }\) con la suma así definida es un grupo conmutativo; cumple las propiedades exigidas a la operaciónm interna en un espacio vectorial.